2017-2018版高中数学 第三章 三角恒等变形 3 二倍角的三角函数(一)课件 北师大版必修4.pptVIP

§3 二倍角的三角函数(一) 第三章 三角恒等变形 学习目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用. 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一　二倍角公式 思考1　 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？ 答案 答案　sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α ＝2sin αcos α； cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α ＝cos2α－sin2α； 思考2　 根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？ 答案 答案　cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1； 或cos 2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 梳理 sin 2α＝2sin αcos α，　　　　　 (S2α) (3.9) cos 2α＝cos2α－sin2α (C2α) (3.10) ＝1－2sin2α (3.11) ＝2cos2α－1， (3.12) tan 2α＝ . (T2α) (3.13) 知识点二　二倍角公式的变形 1.公式的逆用 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝ ， cos2α－sin2α＝ ， ＝tan 2α. cos 2α 2.二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式 1＋cos 2α＝ ，1－cos 2α＝ ， 1＋cos α＝ ，1－cos α＝ . 2cos2α 2sin2α 降幂公式 题型探究 类型一　给角求值 例1　求下列各式的值： (1)cos 72°cos 36°； 解答 解答 对于给角求值问题，一般有两类： (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 反思与感悟 跟踪训练1　求下列各式的值： 解答 解答 类型二　给值求值 答案 解析 例2　(1)若sin α－cos α＝ ，则sin 2α＝ . 解析　(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α 答案 解析 (2)若tan α＝ ，则cos2α＋2sin 2α等于 故选A. 解答 引申探究 在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝ ，求sin 2α. (1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论. (2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ. 反思与感悟 解答 跟踪训练2　已知tan α＝2. 类型三　利用倍角公式化简 解答 (1)对于三角函数式的化简有下面的要求： ①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数. (2)化简的方法： ①弦切互化，异名化同名，异角化同角. ②降幂或升幂. ③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ. 反思与感悟 答案 解析 跟踪训练3　化简下列各式： sin α－cos α 答案 解析 0 解析　∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0， 当堂训练