第三章-勾股定理-小结和复习.doc

第三章 勾股定理小结与复习 知识梳理 1．勾股定理：直角三角形 ． 如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 ． 2．直角三角形的判定条件：如果三角形三边a，b，c满足 ，那么这个三角形是直角三角形． 3．勾股数：满足 的三个正整数a，b，c称为勾股数． 4．勾股定理的主要应用有：①已知直角三角形的两边，求第三边；②已知直角三角形的一边，求另两边的关系；③用于说明含有平方的式子之间的关系；④用于作长为（n为正整数）的线段；⑤借助勾股定理来构造方程，解决实际问题． 直角三角形的判定的主要应用有：①判断某三角形是否为直角三角形；②说明两条线段垂直． 求几何体表面两点间的最短路程是一类比较常见的数学问题，解答这类问题，通常将几何体表面_________，把立体图形转化为_________，利用勾股定理及其他知识加以解答． 运用勾股定理解题要注意联系方程思想与转化思想． 考点呈现 考点1 勾股定理 例1（2013黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4则第三边的长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 分析：本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况．解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得第三边为5 （2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为 故选D．考点2 直角三角形的判定 例2（2013包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AEBE，CE．若1，BE=2，CE=3，，则BE′C=_____°． 分析：观察可知，需添加辅助线，连接可以验证△BEE′是等腰直角三角形，△EE′C是直角三角形，进而可求出∠BE′C的度数．解：如图2，连接EE′，ABCD是正方形，所以AB=BC=1，∠ABC＝90°． 因为∠ABE＝∠CBE′，所以∠EBE′=90°． 因为BE＝=2，所以△BEE′是等腰直角三角形，所以∠BE′E=45°． 由勾股定理可求得EE′=2． 因为＝1，E′E2+E′C2=8+1=9，EC2=9，E′E2+E′C2=EC2． 所以△EE′C是直角三角形，EE′C=90°，BE′C=135°． 故135．例 小明和小华的家同在一条东西向的公路边，两家相距6千米，学校恰好在小明家的正北方向，他们从学校出发径直回家．小华的速度是小明的倍，则两人恰好同时到家．问小明和小华家距离学校各有多少千米？学校恰好在小明家的正北方向：的速度比为5∶4，所以学校到小华家与学校到小明家的距离比也是5∶4，设学校到小华家的距离为5x千米，则到小明家的距离为4x千米在Rt△ABC中，勾股定理，得整理，得=4，x=2． 因此，AC=4x=8，AB=5x=10．例4 如图，OP=1，过P作PP1OP，得OP1=；再过P1作P1P2OP1，且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3OP2，且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012=先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2012的长由勾股定理得OP4==OP1=，OP2=，OP3=2=，观察规律可得OPn=，OP2012=，故．，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标_____________．段间的和差关系即可求得点C的坐标；②当点C位于y轴上时，根据勾股定理求得点C的坐标． 解：如图5，①当点C位于y轴上时，设C（0，b），则．解得b=2或b=-2．所以C（0，2）或（0，-2）；②当点C位于x轴上时，设C（a，0），则|--a|+|a-|=6．当a＞时，可得2a=6，当a＜-时，可得-2a=6．解得a=3或a=-3，所以C（-3，0）或（3，0）．综上所述，点C的坐标是（0，2），（0，-2），（-3，0）或（3，0）． 误区点拨 一、忽视勾股定理的使用条件 例1 已知△ABC的各边长均为整数，且AB=4，BC=3，，试求△ABC的周长． 错解：由勾股定理，得．所以．故△ABC的周长为． 剖析：勾股定理只有在直角三角形的条件下才能应用，而本题中并未说明△ABC是直角三角形，因此需用三角形的三边关系求解． 正解：由三角形的三边关系，得，即．又，且AC为整数，所以AC的长为或．当AC=5时，△ABC的周长为；当时，△ABC的周长为． 二、忽视分类讨论 例2 一个直角三角形的三边长分别为5，12和a，则以a为半径的圆的面积是（ ） A． B． C．或 D．无法确定 错解：因为直角三角形的两条边长