人大版微积分第三版课件9-1.ppt

微分方程 一、问题的提出 二、微分方程的定义 三、主要问题-----求方程的解 四、小结 二、齐次微分方程 2. 解非齐次方程 练习 四、小结 例 3 求解微分方程 在初始条件 下的特解 解 练 习 一阶线性微分方程的标准形式: 上方程称为一阶线性齐次微分方程. 上方程称为一阶线性非齐次微分方程 三、一阶线性微分方程 例如 齐次方程的通解为 1. 线性齐次微分方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法) 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 用常数变易法: 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 解 例1 * * 解 解 代入条件后知 故 开始制动到列车完全停住共需 微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之. 分类: 常微分方程： 偏微分方程： 未知函数为一元函数的微分方程 未知函数为多元函数的微分方程 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件: 用来确定任意常数的条件. 解 所求特解为 微分方程； 微分方程的阶； 微分方程的解； 通解; 初始条件； 特解； 本节基本概念： 思考题 思考题解答 中不含任意常数, 故为微分方程的特解. 练 习 题 一阶方程的几种常见形式： （1） 隐式 （2) 显式 （3) 对称式 第二节：一阶微分方程 定义：若方程可以化为形如 的形式，则称该方程为可分离变量方程 比如 可分离变 量方程 已分离变量方程 一、可分离变量的微分方程 转化 解已分离变量方程 可分离变量方程 解法 为微分方程的通解. 分离变量法 例1 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 典型例题 解 分离变量 两端积分 例2 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 解 分离变量 两端积分得： 解出 练 习 分离变量法步骤: 1、分离变量; 2、两端积分-------隐式通解. 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 作变量代换 代入原式 可分离变量的方程 1.定义 例 1 求解微分方程 的通解 解 例 2 求解微分方程 微分方程的解为 解