2017-2018学年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 二 一般形式的柯西不等式同步配套教学案 新人教A版选修4-5.docVIP

二 一般形式的柯西不等式 　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P32 名称 形式 等号成立条件 三维形式柯西不等式 设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2 当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个实数k使得ai＝kbi(i＝1,2,3) 一般形式柯西不等式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n) [说明]　一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式． 　　　　　　　　　　　　　 对应学生用书P32 利用柯西不等式证明不等式 [例1]　设x1，x2，…，xn都是正数，求证：＋＋…＋≥. [思路点拨]　根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明． [证明]　∵(x1＋x2＋…＋xn) ＝[(1)2＋()2＋…＋()2]≥ 2＝n2， ∴＋＋…＋≥. 柯西不等式的结构特征可以记为： (a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋ ＋…＋)2. 其中ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键． 1．已知a，b，c，d∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≤3. 证明：根据柯西不等式，有 (＋＋)2≤ (1＋1＋1)(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)＝18， ∴＋＋≤3. 利用柯西不等式求最值 [例2]　(1)已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1. 求 ＋ ＋ 的最小值． (2)设2x＋3y＋5z＝29. 求函数μ＝＋＋的最大值． [思路点拨]　(1)利用＋＋＝(x＋y＋z)． (2)利用(＋＋)2＝ 1×＋1×＋1×)2. [解]　(1)∵x＋y＋z＝1， ∴＋＋＝(x＋y＋z) ≥2 ＝(1＋2＋3)2＝36. 当且仅当x＝＝， 即x＝，y＝，z＝时取等号． 所以＋＋的最小值为36. (2)根据柯西不等式，有 (·1＋·1＋·1)2 ≤[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]·(1＋1＋1) ＝3×(2x＋3y＋5z＋11) ＝3×40 ＝120. 故＋＋≤2 ， 当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6， 即x＝，y＝，z＝时等号成立． 此时μmax＝2 . 利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件． 2．设a，b，c，d均为正实数，则(a＋b＋c＋d)·的最小值为________． 解析：(a＋b＋c＋d)· ＝[()2＋()2＋()2＋()2]·≥ 2＝(1＋1＋1＋1)2＝42＝16， 当且仅当a＝b＝c＝d时取等号． 答案：16 3．已知：x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝2，则＋2＋的最大值为(　　) A．2　　　　 　B．2 C．4 D．5 解析：∵(＋2＋)2＝(1×＋2＋·)2≤(12＋22＋()2)[()2＋()2＋()2]＝8(x＋y＋z)＝16.. ∴＋2＋≤4. 答案：C 4．把一根长为12 m的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S最小，并求此最小值． 解：设三段绳子的长分别为x，y，z，则x＋y＋z＝12，三个正方形的边长分别为，，均为正数，三个正方形面积之和：S＝2＋2＋2＝(x2＋y2＋z2)． ∵(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝122， 即x2＋y2＋z2≥48.从而S≥×48＝3. 当且仅当＝＝时取等号， 又x＋y＋z＝12， ∴x＝y＝z＝4时，Smin＝3. 故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3 m2. 　　　　　　　　　　　　　 对应学生用书P33 1．若a，b，c∈R＋，且＋＋＝1，则a＋2b＋3c的最小值为(　　) A．9 B．3 C. D．6 解析：柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥(1＋1＋1)2＝9， ∴a＋2b＋3c的最小值为9. 答案：A 2．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，当且仅当