2017-2018学年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 第1节 比较法创新应用教学案 新人教A版选修4-5.docVIP

第1节 比较法创新应用 [核心必知] 比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种 作差比较法 作商比较法 定义 要证明ab，只要证明a－b0 要证明ab，只要证明a－b0 要证明ab0，只要证明＞1 要证明b＞a＞0，只要证明1 步骤 作差→因式分解(或配方)→判断符号→得出结论 作商→恒等变形→判断与1的大小→得出结论 [问题思考] 1．作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？ 提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明． 实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系. 2．作商比较法主要适用类型是什么？实质是什么？ 提示：作商比较法主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明． 实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与1的大小关系． 　　　求证：(1)a2＋b2≥2(a－b－1)； (2)若abc，则bc2＋ca2＋ab2b2c＋c2a＋a2b. [精讲详析]　本题考查作差比较法的应用．解答本题的步骤为作差→因式分解→判断符号→得出结论． (1)a2＋b2－2(a－b－1) ＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a－b－1)． (2)bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b) ＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b) ＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a) ＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab) ＝(b－a)(c－a)(c－b)， ∵abc，∴b－a0，c－a0，c－b0. ∴(b－a)(c－a)(c－b)0. ∴bc2＋ca2＋ab2b2c＋c2a＋a2b. ∴bc2＋ca2＋ab2b2c＋c2a＋a2b. (1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少． (2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法． (3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式 法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论． 1．(江苏高考)已知a≥b0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b. 证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2) ＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因为a≥b0，所以a－b≥0，a＋b0，2a＋b0， 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0 ，即2a3－b3≥2ab2－a2b. 　　　已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a. [精讲详析]　本题考查作商比较法的应用，解答本题需要先判断不等式两侧代数式的符号，然后再用作商法比较左右两侧的大小． ∵a＞2，∴a－11. ∴loga(a－1)0，log(a＋1)a＞0， 由于 ＝loga(a－1)·loga(a＋1) ＝. ∵a＞2，∴0loga(a2－1)＜logaa2＝2. ∴＝1， 即＜1. ∵log(a＋1)a＞0，∴loga(a－1)＜log(a＋1)a. (1)当不等式的两边为对数式或指数式时，可用作商比较法来证明，另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜采用作差比较法时，也常用作商比较法． (2)在作商比较法中1?ab是不正确的，这与a、b的符号有关，比如若b0，由1，可得ab，但若b0， 则由1得出的反而是ab，也就是说，在作商比较法中，要对a、b的符号作出判断，否则，结论将有可能是错误的．对于此类问题，不外乎可分为含参数变量的和大小固定的两类，因而也可以通过特殊值的方法进行一定的猜测，进而给出一定的理性推理或证明过程． 2．设a0，b0，求证：aabb≥(ab). 证明：∵aabb0，(ab)0， ∴＝a·b＝. 当a＝b时，显然有＝1. 当ab0时，1，0. 当ba0时，01，0. 由指数函数的单调性，有. 即1. 综上可知，对任意实数a、b，都有aabb≥(ab). 　　　甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？ [精讲详析]　本题考查比较法在实际问题中的应用，解答本题需要设出从出发点到指定地点的路程s，甲、乙二人走完这段路程各自需要的时间t1、t2，然后利用作差法比较t1，t2的大小即可． 设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1、t2，依题意有： m＋n＝s，＋＝t2. ∴t1＝，t2＝. ∴t1－t2＝－ ＝ ＝