2017-2018版高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法与分析法学案 新人教B版选修1-2.docVIP

2.2.1　综合法与分析法 明目标、知重点　1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题. 1.综合法 从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论. 2.分析法 从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实. [情境导学] 证明对我们来说并不陌生，我们在之前学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识. 探究点一　综合法 思考1　请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？ 已知a，b0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. 证明　因为b2＋c2≥2bc，a0，所以a(b2＋c2)≥2abc. 又因为c2＋a2≥2ac，b0，所以b(c2＋a2)≥2abc. 因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. 总结：此证明过程运用了综合法.一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. 思考2　综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？ 答　因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理. 例1　在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形. 证明　由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，① 由于A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.② 由①②，得B＝，③ 由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，④ 由余弦定理及③， 可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac， 再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0， 从而a＝c，所以A＝C.⑤ 由②③⑤，得A＝B＝C＝， 所以△ABC为等边三角形. 反思与感悟　综合法的证明步骤如下： (1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等； (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程. 跟踪训练1　在△ABC中，＝，证明：B＝C. 证明　在△ABC中，由正弦定理及已知得＝. 于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0， 即sin(B－C)＝0，因为－πB－Cπ， 从而B－C＝0，所以B＝C. 探究点二　分析法 思考1　回顾一下：基本不等式≥(a0，b0)是怎样证明的？ 答　要证≥， 只需证a＋b≥2， 只需证a＋b－2≥0， 只需证(－)2≥0， 因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立. 思考2　证明过程有何特点？ 答　从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件. 小结　一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法. 思考3　综合法和分析法的区别是什么？ 答　综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件. 例2　求证：－－(a≥3). 证明　方法一　要证－－， 只需证＋＋， 只需证(＋)2(＋)2， 只需证2a－3＋22a－3＋2， 只需证， 只需证02，而02显然成立， 所以－－(a≥3). 方法二　∵＋＋0， ∴， ∴－－. 反思与感悟　当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法. 跟踪训练2　求证：＋2. 证明　因为＋和2都是正数， 所以要证＋2，只需证(＋)2(2)2， 展开得10＋220，只需证5，只需证2125， 因为2125成立，所以＋2成立. 探究点三　综合法和分析法的综合应用 思考　在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？ 答　对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P.若PQ，则结论得证. 例3　已知α，β≠kπ＋(k∈Z)，且 sin θ＋cos θ＝2sin α，　　　　　　　① sin θcos θ＝sin2β. ② 求证：＝. 证明　因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1， 所以将①②代入，可得 4sin2α－2sin2β＝1. ③ 另一方面，要证＝， 即证＝， 即证cos2α