基于变分原理经典梁与高阶梁稳定性.doc

基于变分原理经典梁与高阶梁稳定性 　　摘要: 基于梁的最小势能原理，利用变分法建立了Euler Bernoulli梁、Timoshenko梁和Reddy高阶梁,考虑轴力效应的控制微分方程和边界条件。其次，利用微分方程变量消元法和特征值分析方法求解控制方程，得到梁的位移通解；根据具体边界条件建立的边界矩阵的奇异性求解构件的临界荷载。最后，对比三种梁理论下得到的临界荷载，讨论剪切变形对稳定性的影响。数值分析表明，随着构件长细比的减小，剪切作用的影响愈加明显；Timoshenko梁理论与Reddy高阶梁理论的结果较为接近。 　　关键词:变分原理；Reddy高阶剪切梁；经典平面梁；剪切效应；结构稳定性 　　中图分类号： O176文献标识码： A 　　Stability characteristics of classic and higher order shear deformable beams using variational principle 　　Li Sheng-chao 　　(工作单位信息) 　　Abstract: Based on the principle of minimum potential energy of the beam and the variation method, governing differential equations in conjunction with the boundary conditions of Euler Bernoulli beam, Timoshenko beam, and the Reddy higher order beam considering the axial force are established. Then, the governing differential equations are solved by standard decoupling technique and the eigen-decomposion method. Finally, the comparison of the critical load using three beam theories to discuss the influences of shear deformation on the stability. The numerical results show that with the decrease of slenderness ratio, shear effects affects evidently; Solutions based on Timoshenko beam theory are closer to those based on the Reddy higher order beam theory than the Euler-Bernoulli one behaves. 　　Keywords: Variational principle; Reddy’s higher order beam theory; classic plane beam; shear effects; structural stability 　　1引言 　　梁和柱是土木工程中广泛应用的工程结构。工业与民用建筑、桥梁以及其他土木设施中都梁和柱子的应用，本科的基础课程《材料力学》[1]和《结构力学》[2]对杆件和杆系分别进行了详细的学习。基于杆系的计算理论，大量的土木工程结构计算软件涌现，如PKPM系列、桥梁博士、SAP2000和midas系列等。工程中应用较多的是平截面梁模型，即假定变形之前梁平的横断面在变形之后仍然为平面[1]，比如Euler-Bernoulli梁、Shear梁、Timoshenko梁和Rayleigh[3]。由于杆件的长细比的减小，平截面假定的近似性越来越不够工程精度，许多翘曲梁理论[4]得到了应用，如剪力滞效应[5]明显的宽翼缘T梁和薄壁空心箱梁一般放弃平截面假定。钢-混凝土组合梁结构的剪力键作用引起Timoshenko梁理论中剪切系数计算困难[6]。高阶剪切梁模型，如本文将介绍Reddy高阶梁理论[7]的重要性得以体现。 　　梁和柱的稳定性也是土木工程中的构件分析中不可缺少的环节，《材料力学》重点讲述了欧拉稳定理论[1]，即基于Euler-Bernoulli梁假定建立构件的临界荷载计算公式。Timoshenko梁理论假定下的构件的计算理论，在《结构力学》[2]课程中也有描述。本文将回顾经典平截面梁理论—Euler-Bernoulli梁理论和Timoshenko梁理论，利用势能最小原理[8]重新建立梁的控