2017-2018学年高中数学 复习课（二）直接证明与间接证明教学案 新人教A版选修2-2.docVIP

复习课(二)　直接证明与间接证明 合情推理 (1)近几年的高考中归纳推理和类比推理有时考查，考查的形式以填空题为主，其中归纳推理出现的频率较高，重点考查归纳、猜想、探究、类比等创新能力． (2)处理与归纳推理相关的类型及策略 ①与数字有关：观察数字特点，找出等式左右两侧的规律可解． ②与式有关：观察每个式的特点，找到规律后可解． ③进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键． 1．归纳推理的特点及一般步骤 2．类比推理的特点及一般步骤 [　(1)(陕西高考)观察下列等式： 1－＝， 1－＋－＝＋， 1－＋－＋－＝＋＋， ……， 据此规律，第n个等式可为____________________________________________________． (2)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________． [解析]　(1)等式的左边的通项为－，前n项和为1－＋－＋…＋－；右边的每个式子的第一项为，共有n项，故为＋＋…＋. (2)因为两个正三角形是相似三角形，所以它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8. [答案]　(1)1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ (2)1∶8 [类题通法] (1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明． (2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误． 1．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个点，第n个图案中圆点的总数是Sn. n＝2，S2＝4，n＝3，S3＝8，n＝4，S4＝12，…，按此规律，推出Sn与n的关系式为________． 解析：依图的构造规律可以看出： S2＝2×4－4， S3＝3×4－4， S4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)． …… 猜想：Sn＝4n－4(n≥2，n∈N*)． 答案：Sn＝4n－4(n≥2，n∈N*) 2．在平面几何中：△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中(如图)，DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E，则得到类比的结论是________________． 解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得 ＝. 答案：＝ 演绎推理 (1)演绎推理在高考中不会刻意去考查，但实际上是无处不在，常以数列、不等式、立体几何、解析几何等主干知识为载体进行考查． (2)解答此类问题，结合已学过的知识和生活中的实例，了解演绎推理的含义、基本方法在证明中的应用是关键． 演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的．因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确． [　已知f(x)＝－ ，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn在曲线y＝f(x)上(n∈N*)，且a1＝1，an0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：Sn(－1)，n∈N*. [解]　(1)f(an)＝－＝－，且an0， ∴＝， ∴－＝4(n∈N*)． ∴数列是等差数列，首项＝1，公差d＝4， ∴＝1＋4(n－1)，∴a＝. ∵an0，∴an＝(n∈N*)． (2)证明：∵an＝ ＝ ＝， ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an[(－1)＋(－)＋… ＋(－)] ＝(－1)． [类题通法] 应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论． 常见的解题错误： (1)条件理解错误(小前提错)； (2)定理引入和应用错误(大前提错)； (3)推理过程错误等． 1．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，则m，n的大小关系是　　　　. 解析：当0a1时，函数f(x)＝ax为减函数， a＝∈(0,1)，∴函数f(x)＝x为减函数，故由f(m)f(n)，得mn. 答案：mn 2．设a0，f(x)＝＋是R上的偶函数，求a的值． 解析：∵f(x)＝＋是R上的偶函数， ∴f(－x)＝f(x)，即＋＝＋， ∴(e－x－ex)＋a＝0. ∴＝0对一切x∈R恒成立， ∴a－＝0，即a2＝1. 又a0，∴a＝1. 综合法与分析法 (1)综合法与分析法是高考重点考查内容，一般以某一知识点作为载体，考查由分析法获得解题思路以及用综