2017-2018学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.5 空间向量的数量积课件 苏教版选修2-1.pptVIP

利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝ 求解即可. 反思与感悟 跟踪训练4　如图，已知线段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离. 解答 第3章　§3.1　空间向量与立体几何 3.1.5　空间向量的数量积 学习目标 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标. 2.掌握空间向量的坐标运算规律，并会判断两个向量是否共线或垂直. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题. 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一　空间向量的夹角 1.文字叙述：a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作 ＝a， ＝b，则 叫做向量a与向量b的夹角，记作 . 2.图形表示： ∠AOB 〈a，b〉 角度 表示 〈a，b〉＝__ 〈a，b〉是_____ 0 锐角 3.范围： ≤〈a，b〉≤ . 4.空间向量的垂直：如果〈a，b〉＝ ，那么称a与b互相垂直，记作 . 〈a，b〉是_____ 〈a，b〉是钝角 〈a，b〉＝__ 直角 π 0 π a⊥b 思考　 知识点二　空间向量的数量积 两个向量的数量积是数量，还是向量？ 数量，由数量积的定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，知其为数量而非向量. 答案 梳理 (1)定义： ①设a，b是空间两个非零向量，把数量 叫做a，b的数量积. ②记作：a·b，即a·b＝ . (2)运算律： 交换律 a·b＝___ 数乘向量与向量 数量积的结合律 (λa)·b＝ (λ∈R) 分配律 a·(b＋c)＝_____________________ |a||b|cos〈a，b〉 |a||b|cos〈a，b〉 b·a λ(a·b) a·b＋a·c (3)坐标表示： 已知非零向量a，b，a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 ①a·b＝______________. ②a⊥b? ? . ③|a|＝ ＝ . ④cos〈a，b〉＝ . x1x2＋y1y2＋z1z2 a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 知识点三　空间中两点间的距离公式 思考　 空间两点间的距离公式与两点顺序有关吗？ 空间两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根，因此空间两点间的距离公式与两点顺序无关. 答案 梳理 在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则AB＝ . 题型探究 类型一　空间向量的数量积运算 命题角度1　空间向量的数量积基本运算 例1　(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明. ①p2·q2＝(p·q)2； 解答 此命题不正确. ∵p2·q2＝|p|2·|q|2， 而(p·q)2＝(|p|·|q|·cos〈p，q〉)2 ＝|p|2·|q|2·cos2〈p，q〉， ∴当且仅当p∥q时，p2·q2＝(p·q)2. ②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|； 解答 此命题不正确. ∵|p2－q2|＝|(p＋q)·(p－q)|＝|p＋q|·|p－q|·|cos〈p＋q，p－q〉|， ∴当且仅当(p＋q)∥(p－q)时，|p2－q2|＝|p＋q|·|p－q|. ③若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直. 解答 此命题正确. ∵a·[(a·b)·c－(a·c)·b]＝a·(a·b)·c－a·(a·c)·b＝(a·b)(a·c)－(a·b)(a·c)＝0， 且a与(a·b)·c－(a·c)·b均为非零向量， ∴a与(a·b)·c－(a·c)·b垂直. (2)设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求： ①a·b； 解答 ∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉， ∴a·b＝3×4×cos 120°＝－6. ②(3a－2b)·(a＋2b). 解答 ∵(3a－2b