2017-2018学年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 三 反证法与放缩法同步配套教学案 新人教A版选修4-5.docVIP

三 反证法与放缩法 　　　　　　　　　　　　　 对应学生用书P24 1．反证法 (1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，从此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立． (2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立． 2．放缩法 (1)放缩法证明的定义： 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的． (2)放缩法的理论依据有： ①不等式的传递性； ②等量加不等量为不等量； ③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较． 　　　　　　　　　　　　　 对应学生用书P24 利用反证法证明不等式 [例1]　已知f(x)＝x2＋px＋q. 求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于. [思路点拨]　“不小于”的反面是“小于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”． [证明]　(1)f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2. (2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于， 则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|2. 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾， ∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于. (1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”，“至少”，“不能”等词语的不等式． (2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用． 1．实数a，b，c不全为0的等价条件为(　　) A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 解析：“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”． 答案：D 2．证明：三个互不相等的正数a，b，c成等差数列，则a，b，c不可能成等比数列． 证明：假设a，b，c成等比数列，则b2＝ac. 又∵a，b，c成等差数列 ∴a＝b－d，c＝b＋d(其中d公差)． ∴ac＝b2＝(b－d)(b＋d)．∴b2＝b2－d2. ∴d2＝0，∴d＝0.这与已知中a，b，c互不相等矛盾． ∴假设不成立．∴a，b，c不可能成等比数列． 3．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)f(b)＋f(－a)，求证：ab. 证明：假设ab不成立，则a＝b或ab. 当a＝b时，－a＝－b则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)，于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾． 当ab时，－a－b，由函数y＝f(x)的单调性可得f(a)f(b)，f(－b)f(－a)， 于是有f(a)＋f(－b)f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不成立． ∴ab. 利用放缩法证明不等式 [例2]　已知实数x，y，z不全为零．求证： ＋＋(x＋y＋z)． [思路点拨]　解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明． [证明]　 ＝ ≥ ＝|x＋|≥x＋. 同理可得：≥y＋， ≥z＋， 由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得： ＋＋＋＋＝(x＋y＋z)． (1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败． (2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的． 4．设n是正整数，求证：≤＋＋…＋＜1. 证明：由2n≥n＋k＞n(k＝1,2，…，n)， 得≤＜. 当k＝1时，≤＜； 当k＝2时，≤＜； … 当k＝n时，≤＜， ∴将以上n个不等式相加得： ＝≤＋＋…＋＜＝1. 5．设f(x)＝x2－x＋13，a，b∈[0,1]，求证： |f(a)－f(b)||a－b|. 证明：|f(a)－f(b)|＝|a2－a－b2＋b| ＝|(a－b)(a＋b－1)|＝|a－b||a＋b－1| ∵0≤a≤1,0≤b≤1　∴0≤a＋b≤2， －1≤a＋b－1≤1，|a＋b－1|≤1. ∴|f(a)－f(b)|≤|a－b|