2017-2018版高中数学 第三章 三角恒等变形 2.1 两角差的余弦函数课件 北师大版必修4.pptVIP

2.1　两角差的余弦函数 第三章 §2 两角和与差的三角函数 学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程. 2.理解用向量法导出公式的主要步骤. 3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算. 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点　两角差的余弦公式 思考1　 如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举出两例加以说明. 答案 答案　不正确. 故cos(α－β)≠cos α－cos β； 故cos(α－β)≠cos α－cos β. 思考2　 计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想. ①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝ ； ②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝ ； ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝ ； ④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝ . 猜想： cos αcos β＋sin αsin β＝ ， 即 . 答案 1 0 cos(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 思考3　 单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β， 那么A，B的坐标是什么？ 与 的夹角 是多少？ 答案　A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β). 答案 思考4　 请根据上述条件推导两角差的余弦公式. 答案 ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角. (2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反. 梳理 题型探究 类型一　利用两角差的余弦公式化简求值 例1　计算：(1)cos(－15°)； 解答 解　方法一　原式＝cos(30°－45°) ＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45° 方法二　原式＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° (2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 解答 解　原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°) ＝cos 90°＝0. 利用两角差的余弦公式求值的一般思路： (1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解. (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值. 反思与感悟 跟踪训练1　求下列各式的值： (1)cos 105°； 解　原式＝cos(150°－45°) ＝cos 150°cos 45°＋sin 150°sin 45° 解答 (2)cos 46°cos 16°＋sin 46°sin 16°. 解答 类型二　给值求值 解答 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， α＝ [(α＋β)＋(α－β)]，α＝ [(β＋α)－(β－α)]等. 反思与感悟 解答 跟踪训练2　已知cos α＝ ，cos(α＋β)＝－ ，且α，β∈ ，求cos β的值. 又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α 类型三　给值求角 解答 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)， 求解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值. (2)确定角的范围. (3)根据角的范围写出所求的角. 反思与感悟 解答 ∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)