2017-2018版高中数学 第三章 不等式 1.2 不等关系与不等式(一)课件 北师大版必修5.pptVIP

第三章 不等式 §1.2　不等关系与不等式(一) 1.实数比较大小的方法. 2.通过解决具体问题，培养严谨的思维习惯.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考　 知识点一　作差法比较两个实数大小的原理 因为2x与x2＋1两个式子都在变化，谁大谁小不容易确定.而x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，大小关系容易确定. 答案 2x与x2＋1谁大谁小容易确定吗？x2＋1－2x与0的大小关系呢？ 梳理　 一般地，可以通过比较a－b与0的大小来比较a与b的大小，其原理是：ab?a－b0，a＝b?a－b＝0，ab?a－b0. 知识点二　比较两个实数大小的依据 思考　 这种方法对.其依据是不等式的传递性：若ab，bc，则ac. 有同学借助一个中间量：x－1xx＋1来比较x－1与x＋1的大小，这种方法对吗？依据是什么？ 答案 梳理　 一般地，比较两个实数的大小，常需要对两个实数变形.为不改变它们的大小关系，需遵循不等式的性质进行变形.常用的依据有： (1)如果ab，那么a＋cb＋c.加法性质 (2)如果ab，c0，那么acbc. (3)如果ab，c0，那么acbc.乘法性质 题型探究 类型一　比较大小 命题角度1　作差法比较大小 例1　已知a，b均为正实数.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小. ∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2) ＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b). 当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)20，a＋b0，a3＋b3a2b＋ab2. 综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2. 解答 反思与感悟 比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了.作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式. 跟踪训练1　已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小. 解答 ∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2 命题角度2　作商法比较大小 例2　若0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小关系. 解答 ∵0＜x＜1， ∵1－x2＝(1＋x)(1－x)＜1，且1－x＞0， ∴|loga(1＋x)|＜|loga(1－x)|. 反思与感悟 作商法的依据：若b＞0，则 ＞1?a＞b. 跟踪训练2　若a＞b＞0，比较aabb与abba的大小. 解答 又∵a＞b＞0，∴aabb＞abba. 类型二　作差法在数学中的应用 例3　利用作差法证明下列问题. (1)函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数. 证明 对于任意的x2x10，有 ∵0x1x2， ∴x1－x20，x1＋x20， ∴(x1－x2)(x1＋x2)0， 即y1－y20， ∴函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数. (2)若a10,0q1，则等比数列{an}是递减数列. 证明 ∵a10,0q1， ∴an＋1－an＝a1qn－a1qn－1 ＝a1qn－1(q－1)0(n∈N＋)， 故等比数列{an}是递减数列. 反思与感悟 作差法判断函数的增减性在数学中有着广泛的应用. 跟踪训练3　设等差数列{an}的公差为d.若数列{ }为递减数列，则 A.d0 B.d0 C.a1d0 D.a1d0 设bn＝ ，则bn＋1＝ ，由于{ }是递减数列，则bnbn＋1，即 .∵y＝2x是单调增函数，∴a1ana1an＋1，∴a1an－a1(an＋d)0，∴a1(an－an－d)0，即a1(－d)0，∴a1d0. 答案 解析 类型三　作差法在实际问题中的应用 例4　一般的人，下半身长与全身长的比值在0.57～0.60之间，当这个比值越接近黄金分割值0.618时，人的身材就越好.设某人下半身长为b(cm)，全身长为a(cm)，请问这个人穿上m(cm)的高跟鞋后，下半身长与全身长的比值会增加吗？ 解答 已知a，b，m都是正数，且ab，则 ∵a，b，m都是正整数，且ab， ∴m0，m