人大版微积分第三版课件4-4.ppt

第四节 一、 有理函数的积分 例1. 将下列真分式分解为部分分式 : (2) 用赋值法 (3) 混合法 四种典型部分分式的积分: 例2. 求 例3. 求 例4. 求 例5. 求 例6. 求 按常规方法解: 例7. 求 说明: 二 、可化为有理函数的积分举例 例8. 求 例9. 求 例10. 求 例10. 求 例11. 求 2. 简单无理函数的积分 例12. 求 例13. 求 例14. 求 内容小结 思考与练习 解（三） 可以不用万能置换公式. 结论 比较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换. 令 令 被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如: 令 解: 令 则 原式 解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的 最小公倍数 6 , 则有 原式 令 解: 令 则 原式 练习 求积分 解 先对分母进行有理化 原式 1. 可积函数的特殊类型 有理函数 分解 多项式及部分分式之和 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 . 简便 , * 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法 初等函数 求导 初等函数 积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 有理函数的积分 本节内容: 第四章 有理函数: 时, 为假分式; 时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 分解 其中部分分式的形式为 若干部分分式之和 解: (1) 用拼凑法 故 原式 = 变分子为 再分项积分 解: 已知 EXERCISES 求积分 解 解: 原式 思考: 如何求 Hint: 变形方法同例3, 并利用 P209 例9 . EXERCISES求积分 解 解: 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. 解: 原式 EXERCISES 求积分 解 令 解: 原式 (见P348公式21) 注意本题技巧 按常规方法较繁 第一步 令 比较系数定 a , b , c , d . 得 第二步 化为部分分式 . 即令 比较系数定 A , B , C , D . 第三步 分项积分 . 此解法较繁 ! 解: 令 则 得递推公式 递推公式 已知 利用递推公式可求得 例如, 设 表示三角函数有理式 , 令 万能代换 t 的有理函数的积分 1. 三角函数有理式的积分 则 三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 令 （万能置换公式） 解: 令 则 练习 求积分 解 由万能置换公式 解: 说明: 通常求含 的积分时, 往往更方便 . 的有理式 用代换 解法 1 令 原式 解法 2 令 原式 解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令 原式 练习 求积分 解（一） 解（二） 修改万能置换公式, 令 * * * *