2017_2018学年高中数学第二章参数方程2.2圆的参数方程2.3椭圆的参数方程2.4双曲线的参数方程学案北师大版选修.docVIP

2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程 [对应学生用书P24] 1．有向线段的数量 如果P，M是l上的两点，P到M的方向与直线的正方向一致，那么PM取正值，否则取负值．我们称这个数值为有向线段的数量． 2．直线参数方程的两种形式 (1)经过点P(x0，y0)、倾斜角是α的直线的参数方程为：(t为参数)． 其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数t的几何意义是从点P到M的位移，可以用有向线段的数量来表示． (2)经过两个定点Q(x1，y1)，P(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的参数方程为(λ为参数，λ≠－1)． 其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是：动点M分有向线段的数量比. ①当λ0时，M为内分点； ②当λ0且λ≠－1时，M为外分点； ③当λ＝0时，点M与Q重合． 1．如何引入参数求过定点P(x0，y0)且与平面向量a＝(a，b)平行的直线的参数方程？ 提示：在直线l上任取一点M(x，y)，因为∥a，由两向量共线的充要条件以及＝(x－x0，y－y0)，可得＝，设这个比值为t，即：＝＝t，则有：(t∈R)． 2．问题1中得到的参数方程中参数何时与(t∈R)中参数t具有相同的几何意义？ 提示：当a2＋b2＝1时． [对应学生用书P24] 直线参数方程的确定 [例1]　已知直线l过(3,4)，且它的倾斜角θ＝120°. (1)写出直线l的参数方程； (2)求直线l与直线x－y＋1＝0的交点． [思路点拨]　本题考查如何根据已知条件确定直线的参数方程及运算求解能力，解答此题需要将条件代入得到直线的参数方程，然后与x－y＋1＝0联立可求得交点． [精解详析]　(1)直线l的参数方程为 (t为参数)， 即(t为参数)． (2)把代入x－y＋1＝0， 得3－t－4－t＋1＝0，得t＝0. 把t＝0代入得两直线的交点为(3,4)． 1．已知直线经过的定点与其倾斜角，求参数方程利用(t为参数)． 2．已知直线过两点，求参数方程利用 3．已知直线经过的定点与其方向向量a＝(a，b)(或斜率)，则其参数方程可为：(t为参数)． 1．已知两点A(1,3)，B(3,1)和直线l：y＝x，求过点A，B的直线的参数方程，并求它与直线l的交点M分AB的比． 解：设直线AB与l的交点M(x，y)，且＝λ，则直线AB的参数方程为(λ为参数且λ≠－1)．① 把①代入y＝x得＝，得λ＝1， 所以点M分AB的比为1∶1. 利用直线参数方程中参数的几何意义解决距离问题 [例2]　写出经过点M0(－2,3)，倾斜角为的直线l的参数方程，并且求出直线l上与点M0相距为2的点的坐标． [思路点拨]　本题考查直线参数方程(t为参数)的应用，特别是参数几何意义的应用．解答此题需先求出直线上与点M0相距为2的点对应的参数t，然后代入参数方程求此点的坐标． [精解详析]　直线l的参数方程为 (t为参数)．① 设直线l上与已知点M0相距为2的点为M点，M点对应的参数为t，则|M0M|＝|t|＝2， ∴t＝±2.将t的值代入①式： 当t＝2时，M点在M0点上方，其坐标为(－2－，3＋)； 当t＝－2时，M点在M0点下方，其坐标为(－2＋，3－)． 1．过定点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)，|t|的几何意义是有向线段的长度，即P与M间的距离． 2．过定点M0(x0，y0)，斜率为的直线的参数方程是(a，b为常数，t为参数)．当a2＋b2＝1时，|t|的几何意义是有向线段的长度，当a2＋b2≠1时，|t|的几何意义是的长度的. 2．过点A(1，－5)的直线l1的参数方程为(t为参数)，它与方程为x－y－2＝0的直线l2相交于一点P，求点A与点P之间的距离． 解：将直线l1的参数方程化为 (t为参数)． 2＋2＝1且＞0，令t′＝2t，则将t′代入上述方程得直线l1 的参数方程的标准式为 (t′为参数)．代入x－y－2＝0得 －－2＝0，解得t′＝4， ∴|AP|＝|t′|＝4. 直线与圆锥曲线的位置关系 [例3]　已知直线l过点P(1,0)，倾斜角为，直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，设线段AB的中点为M. (1)求P，M两点间的距离； (2)求线段AB的长|AB|. [思路点拨]　本题考查直线的参数方程在解决直线与圆锥曲线相交中的中点、弦长等问题中的应用，解答此题需要求出直线的形如(t为参数)的方程，然后利用参数的几何意义求解． [精解详析]　(1)∵直线l过点P(1,0)，倾斜角为，cos α＝，sin α＝. ∴直线l的参数方程为(t为参数)．① ∵直线l和椭圆相交，将直线的参数方程代入椭圆方程 并整理得5t2＋2t－4＝0，Δ＝4＋4×5×40. 设这个二次方程的两个实根为t1，t2