2017_2018学年高中数学第二章参数方程2.3.2_2.3.3抛物线双曲线的参数方程学案新人教B版选修.docVIP

2．3.2 2.3.3　抛物线、双曲线的参数方程 [读教材·填要点] 1．抛物线的参数方程 抛物线y2＝2px的参数方程为. 2．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线－＝1的参数方程是，参数θ的取值范围为0≤θ≤2π且θ≠，θ≠. (2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线－＝1的参数方程是,0≤θ≤2π. [小问题·大思维] 1．在双曲线的参数方程中，θ的几何意义是什么？ 提示：参数θ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点M的离心角)，而不是OM的旋转角． 2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？ 提示：如果x对应的参数形式是asec θ，则焦点在x轴上； 如果y对应的参数形式是asec θ，则焦点在y轴上． 3．若抛物线的参数方程表示为则参数α的几何意义是什么？ 提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M，以射线OM为终边的角． 抛物线参数方程的应用 [例1]　连接原点O和抛物线2y＝x2上的动点M，延长OM到P点，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线． [思路点拨]　本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M，P的坐标，然后借助中点坐标公式求解． [精解详析]　设M(x，y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线的延长线上，且M为线段OP的中点，抛物线的参数方程为由中点坐标公式得 变形为y0＝x，即x2＝4y. 它表示的为抛物线． 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x，y表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标． 1．已知曲线C的参数方程为α∈[0,2π)，曲线D的极坐标方程为ρsin＝－. (1)将曲线C的参数方程化为普通方程； (2)曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由． 解：(1)由α∈[0,2π) 得x2＋y＝1，x∈[－1,1]． (2)由ρsin＝－得 曲线D的普通方程为x＋y＋2＝0. 由得x2－x－3＝0. 解得x＝?[－1,1]，故曲线C与曲线D无公共点. 双曲线参数方程的应用 [例2]　在双曲线x2－y2＝1上求一点M，使M到直线y＝x的距离为. [思路点拨]　本题考查双曲线的参数方程的应用．解答本题需要先求出双曲线的参数方程，设出M点的坐标，建立方程求解． [精解详析]　设M的坐标为(sec θ，tan θ)，由M到直线x－y＝0的距离为，得＝. 整理得|－|＝2，|1－sin θ|＝2|cos θ|. 平方得1－2sin θ＋sin2θ＝4(1－sin2θ)． 即5sin2θ－2sin θ－3＝0， 解得sin θ＝1或sin θ＝－. sin θ＝1时，cos θ＝0(舍去)． sin θ＝－时，cos θ＝±. ∴M的坐标为或. 参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理． 2．如图， 设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1，F2是两个焦点，证明|PF1|·|PF2|＝|OP|2. 证明：∵P在双曲线x2－y2＝1上， ∴设P(sec φ，tan φ)． ∵F1(－，0)，F2(，0)， ∴|PF1|＝ ＝， |PF2|＝ ＝. |PF1|·|PF2|＝＝2sec2φ－1. ∵|OP|2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1， ∴|PF1|·|PF2|＝|OP|2. 圆锥曲线的参数方程的综合应用 [例3]　如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离． [思路点拨]　本题考查椭圆及双曲线的参数方程．解答本题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据已知条件求出椭圆的参数方程求解即可． [精解详析]　∵－＝1， ∴右焦点为(5,0)，右顶点为(4,0)． 设椭圆＋＝1，∴a＝5，c＝4，b＝3. ∴方程为＋＝1. 设椭圆上一点P(5cos θ，3sin θ)， 双曲线一渐近线为3x－4y＝0， ∴点P到直线的距离d＝ ＝. ∴dmax＝. 一、选择题 1．下列在曲线(0≤θ≤2π)上的点是(　　) A.　　　　　　　　 B. C．(2，) D．(1，) 解析：选B　转化为普通方程：y2＝1＋x(|y|≤)，把选项A，B，C，D代入验证得，选B. 2．下列双曲线中，与双曲线的离心率和渐近线都相同的是(　　) A.－＝1 B.－＝－1 C.－x2＝1 D.－x2＝－1 解析：选B　由x＝secθ，得 x2＝＝＝3ta