2017-2018学年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 三 排序不等式同步配套教学案 新人教A版选修4-5.docVIP

三 排序不等式 　　　　　　　　　　　 　　对应学生用书P35 1．顺序和、乱序和、反序和 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)．称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)． 2．排序不等式(排序原理) 定理：(排序原理，又称为排序不等式)　设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)?a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn. 排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和． [说明]　排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小． 　　　　　　　　　　　 　　对应学生用书P35 [例1]　已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证： ＋＋≥＋＋. [思路点拨]　分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可． [证明]　∵a≥b0，于是≤， 又c0，从而≥， 同理≥，从而≥≥. 又由于顺序和不小于乱序和，故可得 ＋＋≥＋＋ ＝＋＋ ≥＋＋＝＋＋ ＝＋＋. 所以原不等式成立． 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组． 1．已知0αβγ，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 证明：∵0αβγ，且y＝sin x在为增函数，y＝cos x在为减函数， ∴0sin αsin βsin γ，cos αcos βcos γ0. ∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos αsin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 2．设x≥1，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn. 证明：∵x≥1，∴1≤x≤x2≤……≤xn. 由排序原理得12＋x2＋x4＋…＋x2n ≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1 即1＋x2＋x4＋…＋x2nn≥(n＋1)xn.① 又因为x，x2，…，xn,1为1，x，x2，…，xn的一个排列 由排序原理得：1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1 ≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1 得x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn② 将①②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn. 用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假设) [例2]　在△ABC中，试证：≤ [思路点拨]　可构造△ABC的边和角的有序数列，应用排序不等式来证明． [证明]　不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C. 由排序不等式，得 aA＋bB＋cC≥aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC. 相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C) ＝π(a＋b＋c)，得≥. 在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系． 3．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c. 证明：由题意不妨设a≥b≥c＞0， 由不等式的单调性，知ab≥ac≥bc，≥≥. 由排序不等式，知 ab×＋ac×＋bc× ≥ab×＋ac×＋bc×， 即所证不等式＋＋≥a＋b＋c成立． 4．设a1，a2，…，an是1,2，…，n的一个排列， 求证：＋＋…＋≤＋＋…＋. 证明：设b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一个排列，且b1b2…bn－1；c1，c2，…，cn－1是a2，a3，…，an的一个排列，且c1c2…cn－1， 则…且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n. 利用排序不等式，有 ＋＋…＋≥＋＋…＋≥＋＋…＋. ∴原不等式成立． 对应学生用书P36 1．有一有序数组，其顺序和为A，反序和为B，乱序和为C，则它们的大小关系为(　　) A．A≥B≥C