天津大学 高等数学概要 赵树版 复习课件.ppt

高阶导数的求法 8. 解 19、导数的应用 定理 (1) 函数单调性的判定法 定义 (2) 函数的极值及其求法 定理(必要条件) 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点统称为临界点. 定理(第一充分条件) 定理(第二充分条件) 求极值的步骤: 步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值) (3) 最大值、最小值问题 实际问题求最值应注意: 1)建立目标函数; 2)求最值; 20. 曲线的凹凸与拐点 定义 定理1 方法1: 方法2: . 21. 给定函数 y = f (x) ,求其铅直渐近线及斜渐近线. . . . 两者的联系与区别？ 联系：它们的导数相同，都是 f (x). 原函数是不定积分中的一个函数。 区别： 不定积分是函数族； 22. 原函数与不定积分 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 不定积分的性质 . 23. 基本积分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . （第二换元） （分步积分） （分步积分） （第二换元） （用第二换元法算得） 25、第一类换元法 24、直接积分法 第一类换元公式（凑微分法） 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法. 常见类型: 凑微分练习： . . . . . . . . . . 反用第一换元法： . . 常用的代换有三角代换、双曲代换、倒代换等，用于： 是否需要其它的代换， 具体问题，具体分析。 . 26、第二类换元法 27、分部积分法 分部积分公式 选择u的有效方法: 反对幂三指 哪个在前哪个选作u. 28、几种特殊类型函数的积分 （1）有理函数的积分 定义 两个多项式的商表示的函数称之. 真分式化为部分分式之和的待定系数法 四种类型分式的不定积分 (2)某些无理函数——有理化 为使其有理化，只需作变换 先配方，再作三角代换，即可有理化。 关于不定积分的几点说明 （1）原函数存在，但不是初等函数（或至少不是有限 形式）的不定积分，有人称为可积但“积不出来”.已经证 明“ 积不出来”的积分有： （2）对于较难的积分，首先考虑使用凑微分法，其次看可 否用三角代换或分部分积法积出来，最后再依被积函数所属 类型选择积分方法。 （3）使用积分表。 3. 证明 讨论: 由零点定理知, 综上, 4. 解 解法讨论 * （1） 利用函数连续性求极限——代入法. （2） 用恒等变形消去零因子法求极限. （3） 用同除一个函数的方法求 型极限(最高次项系数之比). （4） 利用两个重要极限求极限. （5） 利用无穷小性质求极限. （6） 利用等价无穷小代换求极限. （7） 利用极限存在的两个准则求极限. （8） 从左、右极限求分段函数在分界点处的极限. （9） 用洛必达法则求未定式的极限. 1. 极限求法小结 2.判定极限存在的准则 准则I 夹逼准则 定理: 若在 内（或当 时）有不等式 成立，且 则 (1) (2) 3. 两个重要极限 定义: 4. 无穷小的比较 5. 定理(等价无穷小替换定理) 常用等价无穷小: 6. 连续的定义 定理 连续的充要条件 单侧连续 (1) 跳跃间断点 (2)可去间断点 7. 间断点的分类 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点: 可去型 第一类间断点 跳跃型 0 y x 0 y x 0 y x 无穷型 振荡型 第二类间断点 0 y x 第二类间断点 定理(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 定理 (最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. 8.闭区间上连续函数的性质 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值. 9、导数的定义 2.右导数: 单侧导数 1.左导数: 10、基本导数公式 （常数和基本初等函数的导数公式） 11、求导法则 (1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (2) 反函数的求导法则 (3) 复合函数