矩阵不等式的扩与某些性质.doc

矩阵不等式的扩充与某些性质 学生姓名 张旭东 指导教师 温瑞萍 （太原师范学院数学系14011班 山西太原 030012） 【内容摘要】 本文扩充了矩阵不等式的定义，突破了在矩阵不等式中矩阵必须为对称矩阵的限制，并进一步讨论，证明了矩阵不等式的某些性质。 【关键词】 正定矩阵 矩阵不等式 交换 引言 对于n阶实对称矩阵A，如果对任意的x，且x≠0,都有，则称A为正定矩阵，记为A0；如果对于任意x，都有，则称A为半正定矩阵，记为；如果对任意的x，且x≠0，都有，则称A为负定矩阵，记为A0；如果对任意的x，都有，则称A为半负定的，记为A。如果总存在,,使, ,则称A为不定矩阵。 定义：设A,B均为n阶实对称矩阵，如果A-B，则称A大于等于B（或称B小于等于A）记作AB（或BA）；，如果A-B0，则称A大于B（或称B小于A），记作AB（或BA）。 引理 A是正定矩阵的充要条件是A的任意阶顺序主子式大于零。 引理 A是负定矩阵的充要条件-A是正定矩阵。 表示n阶实矩阵空间。 （）表示矩阵A的i阶顺序主子式。 引理1 设A,则A可唯一表示成一对称矩阵和反对称矩阵的和。即A=S（A）+K（A）。 其中S(A)=(+,K(A)= ，则，。S(A)表示A的对称部分，K(A)表示A的反对称部分。 在英文中symmetrical表示“对称的”，所以在本文中用S(A)表示矩阵A的对称部分，skew表示“反对称的”，而本文已用了S(A)表示矩阵A的对称部分，故用K(A)表示矩阵A的反对称部分。 正文 本文突破了矩阵不等式中矩阵必须为对称矩阵的限制，从而扩充了矩阵不等式的范围。 引理2 A，B，如果K（A）=K（B），则A-B是对称矩阵。 定义：设A，B，如果K（A）=K（B），且有A-B，则称A大于等于B（或称B小于等于A），记作AB；如果K（A）=K（B）且有A-B0，则称A大于B（或称B小于A），记作AB（或BA）。 如: A= B= A,B均不是对称矩阵。 但 K(A)= K（B）= K(A)=K(B) A-B= 则A-B是对称矩阵，且 =40 ==120 ==320 A-B0 即AB。 这里当n为1时，所定义的不等式便是实数不等式，当n大于或等于2时，所定义的不等式便与一般不等式有所不同，这里的大于或小于仅是一种记号，表示正定或负定，是矩阵中的一种偏序，而不是一般意义下的大小。 如任意两个实数总能比较大小，但任意两个n阶矩阵不一定能比较大小。因为，首先对于任意的n阶矩阵A，B。A-B便不一定是对称矩阵。就算A-B是对称矩阵也不一定能比较大小。 如：　A= 　B= 　A-B=　　 显然A-B不是对称矩阵，当然不能判断正定。 A= B= A-B= A-B是对称矩阵．但由于=-1 =1 　AB或BA均不成立。 引理：设A，B，C，D，且K(A)=K(B)=K(C)=K(D),则 AB (AB)kAkB (kAkB) k0kAkB(kAkB) k0 A0 B0A+B0 A0 B0 A+B0 AB BAA=B AB BCAC AB CDA+CB+D AB BC AC A0 (A0) B0 (B0)且AB=BA,则AB0(AB0) ABA+CB+C 由引理3的性质1） 可得A，B则，则AB-A-B 由引理3的性质4） 可得A，则A0 A0A=0 定理4：设A，B，则AB的充要条件是：对任意nm列满秩矩阵P都有。 证明：必要性 === x,x0由于P列满秩 Px0 = 此即 充分性 即 x,x0 0 由于 p的任意性知 A-B0 即 AB 引理：设A，B，C，D,则 1)如果AB, C0，且AC=CA, BC=CB,则 ACBC； 如果AB, C0,?且AC=CA, BC=CB,则 ACBC。 2)如果AB0, CD0,且有AC=CA, BD=DB, AB=BA或BC=CB,那么ACBD。 3)如果A0,则。 定理6:如果A,B A,B0且AB=BA,那么 。 证明:充分性:A0,B0,且AB 由引理3的2)可知 必要性: (A-B)0 ① 由于A0,B0 则可知0 从而存在。 ①式两边同乘以,则可得A-B0,即AB。 定义:设0,则=; O,则=-。 定理7:设AB或AB,且AB=BA,则。 证明: 即 。 定理8