人大版微积分第三版课件8-7.ppt

导数与微分 第一节 回忆定积分概念 :求曲边梯形面积步骤 3) 近似和. 2. 平面薄片的质量 二、二重积分的定义及可积性 二重积分存在定理: 三、二重积分的性质 例1. 比较下列积分的大小: 例3. 估计下列积分之值 8. 设函数 一、利用直角坐标系计算二重积分 例2. 计算 例3. 计算 4: 若积分区域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算 其中D 是直线 y＝0, x＝0, 及 所围的位于第一象限内的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域, 则 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域, 则 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 二重积分的定义 2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似) 3. 曲顶柱体体积的计算 二次积分法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * 三、二重积分的性质 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算 二重积分的概念与性质 第九章 1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 用直线 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以 为底 , 为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 4) 取极限. 令 则曲边梯形面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 柱体体积=底面积× 高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. １．曲顶柱体的体积 一、问题的提出 解法: 类似定积分解决问题的思想: 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“常代变” 在每个 3)“近似和” 则 中任取一点 小曲顶柱体 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4)“取极限” 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 计算该薄片的质量 M . 度为 设D 的面积为? , 则 若 非常数 , 仍可用 其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 相应把薄片也分为小区域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)“常代变” 中任取一点 3)“近似和” 4)“取极限” 则第 k 小块的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义: 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 可积 , 在D上的二重积分. 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例1中曲顶柱体体积: 引例2中平面薄板的质量: 如果 在D上可积, 也常 二重积分记作 这时 分区域D , 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若函数 定理2. (证明略) 定理1. 在D上可积. 限个点或有限个光滑曲线外都连续 , 积. 在有界闭区域 D上连续, 则 若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对二重积分定义的说明： 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值． 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的几何意义 当被积函数大于零