2017_2018学年高中数学第二章参数方程2.3.1椭圆曲线的参数方程学案新人教B版选修.docVIP

2．3.1　椭圆的参数方程 [读教材·填要点] 椭圆的参数方程 中心在原点，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的参数方程是,0≤t≤2π.中心在M0(x0，y0)的椭圆＋＝1的参数方程是0≤t≤2π. [小问题·大思维] 1．中心在原点，焦点在y轴上的椭圆＋＝1的参数方程是什么？ 提示：由得 即参数方程为(0≤φ≤2π)． 2．圆的参数方程中参数θ的意义与椭圆的参数方程中参数φ的意义相同吗？ 提示：圆的参数方程(0≤θ≤2π)中的参数θ是动点M(x，y)的旋转角，但在椭圆的参数方程(0≤φ≤2π)中的φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA＝a(或OB＝b)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角． 利用椭圆的参数方程求最值 [例1]　已知椭圆＋＝1有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积． [思路点拨]　本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答此题需要设出A点的坐标，然后借助椭圆的对称性即可知B，C，D的坐标，从而求出矩形的面积的表达式． [精解详析]　∵椭圆方程为＋＝1， ∴可设A点的坐标为(10cos α，8sin α)， 则|AD|＝20|cos α|，|AB|＝16|sin α|. ∴S矩形＝|AB|·|AD|＝20×16|sin α·cos α|＝160|sin 2α|. ∵|sin 2α|≤1， ∴矩形ABCD的最大面积为160. 利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为： (1)求出椭圆的参数方程； (2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)； (3)借助三角函数的知识求最值． 1．已知实数x，y满足＋＝1，求目标函数z＝x－2φ的最大值与最小值． 解：椭圆＋＝1的参数方程为0≤φ≤2π. 代入目标函数得 z＝5cos φ－8sin φ＝cos(φ＋φ0) ＝cos(φ＋φ0). 所以zmin＝－，zmax＝. 利用椭圆的参数方程求轨迹方程 [例2]　由椭圆＋＝1上的点M向x轴作垂线，交x轴于点N，设P是MN的中点，求点P的轨迹方程． [思路点拨]　本题考查椭圆的参数方程及轨迹方程的求法．解答此题需要先求出椭圆的参数方程，即M点的坐标，然后利用中点坐标公式表示出P的坐标即可求得轨迹． [精解详析]　椭圆＋＝1的参数方程为(0≤θ≤2π)， ∴设M(2cos θ，3sin θ)，P(x，y)， ∴消去θ，得＋＝1，表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆． 利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用θ表示点的坐标，再利用sin2θ＋cos 2θ＝1进行消参．本题的解决方法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便． 2．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点． (1)若椭圆C上的点A到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标； (2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程． 解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.又点A在椭圆上，所以＋＝1，得b2＝3，于是c2＝a2－b2＝1，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)． (2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos θ，sin θ)，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则 x＝，y＝， 所以x＋＝cos θ，＝sin θ. 消去θ，得(x＋)2＋＝1. 利用椭圆的参数方程证明等式或定值问题 [例3]　已知椭圆＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别交x轴于P，Q两点，求证：|OP|·|OQ|为定值． [思路点拨]　本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答本题需要先确定B1，B2两点的坐标，并用椭圆的参数方程表示出M点的坐标，然后用参数表示出|OP|·|OQ|即可． [精解详析]　设M(2cos φ，sin φ)(0≤φ≤2π)，B1(0，－1)，B2(0,1)， 则MB1的方程：y＋1＝·x. 令y＝0，则x＝， 即|OP|＝.MB2的方程：y－1＝x， ∴|OQ|＝. ∴|OP|·|OQ|＝×＝4. 即|OP|·|OQ|＝4为定值． (1)利用椭圆的参数方程可把几何问题转化为三角问题，便于计算或证明． (2)利用参数方程解决此类问题时，要注意参数的取值范围． 3．求证：椭圆(ab0,0≤θ≤2π)上一点M与其左焦点F的距离的最大值为a＋c(其中c2＝a2－b2)． 证明：M，F的坐标分别为(acos θ，bsin θ)，(－c,0)． |MF|2＝(acos θ＋c)2＋(bsin θ)2 ＝a2cos2θ＋2accos θ＋c2＋b2－b2cos2θ ＝c2cos2θ＋2accos θ＋a2 ＝(a＋ccos θ)2. ∴当cos θ＝1时