高中数学第一章计数原理1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质课件2新人教A版选修2_32017072815.pptVIP

一、新课引入 二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？ 一般地，对于n N*有 二项定理: 1．“杨辉三角”的来历及规律 展开式中的二项式系数，如下表所示： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… …… …… 表中每行两端都是1，与这两个1等距离的系数相等；而且在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；同一行中系数先增后减。 上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角) (1)对称性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (3)增减性与最大值. 增减性的实质是比较 的大小. (2)递推性: 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 二项式系数的性质 学科网 (3)增减性与最大值. 增减性的实质是比较 的大小. 所以 相对于 的增减情况由 决定． 可知，当 时， 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 （3）增减性与最大值 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 取得最大值； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、 相等，且同时取得最大值。 （4）各二项式系数的和 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于： 学科网 一般地， 展开式的二项式系数 有如下性质： （1） （2） （3）当 时， （4） 当 时， 还可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象，研究二项式系数的性质． (a+b)n展开式的二项式系数是 可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是{0,1,2,…,n}, 对于确定的n,可以画出它的图像。例如：当n=6时，其图象是右图中的7个孤立点. . . - - - - - - - - - - 10 8 4 6 2 16 20 f(r) . . . . . 3 6 9 r 课堂练习： 1）已知 ，那么 = ； 2） 的展开式中，二项式系数的最大值是 ； 3）若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n= ； 例1 证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 即证： 证明：在展开式 中 令a=1，b=－1得 小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特 定的值1，-1等来整体得到所求。 赋值法的应用 —解决二项式系数问题. 赋值法 已知 求:(1) ； (2) ； (3) ; (4) 例4:求(x+2)10 （x2-1）展开式中含 x 10 项的系数为＿＿＿＿. 变式：求(1+x+x2)(1-x)10展开式中含x项的系数. 求两个(多个)二项式乘积的展开式的特定项方法： （1）先化简，化成一个二项式的展开式; （2）分析两个（多个）二项式的通项的字母的指数,利用找伙伴的方式解决. 例3：求 展开式中的常数项. 例4： 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项。 变式引申： 1、 的展开式中，系数绝对