高中数学第一章计数原理1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质课件1新人教A版选修2_32017072816.pptVIP

1.3.2　“杨辉三角”与二项式 系数的性质 第一章　§1.3　二项式定理 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用. 学习目标 答案 问题导学 　　　　新知探究 点点落实 知识点一　“杨辉三角”与二项式系数的性质 (a＋b)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式： 思考1　从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？ 答案　在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等； 在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. 答案 思考2　计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ 答案　2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n. 思考3　二项式系数的最大值有何规律？ 答案　n＝2,4,6时，中间一项最大，n＝3,5时中间两项最大. 1.杨辉三角的特点 (1)在同一行中，每行两端都是 ，与这两个1等距离的项的系数 . (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的 ，即 . 1 相等 和 答案 2.二项式系数的性质 性质 内容 对称性 ，即二项展开式中，与首末两端“ ”的两个 相等. 增减性 与最大值 如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项 的二项式系数最大. 如果n为奇数，那么其展开式中间两项 与 的二项式系数相等且同时取得最大值. 等距离 二项式系数 二项式 系数的和 二项展开式中各二项式系数的和等于 ，即 ＝ . 奇数项的二项式系数之和等于 项的二项式系数之和，都等于2n－1，即 ＝ . 2n 2n 偶数 2n－1 答案 返回 类型一　与杨辉三角有关的问题 例1　如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值. 解　由题意及杨辉三角的特点可得 S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9) 解析答案 反思与感悟 题型探究 　　　　重点难点 个个击破 反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 解析答案 跟踪训练1　(1)如图数表满足：①第n行首尾两数 均为n；②图中的递推关系类似杨辉三角，则 第n(n≥2)行的第2个数是_________. 解析　由图中数字规律可知，第n行的第2个数是 1 2　2 3　4　3 4　7　7　4 5　11　14　11　5 …　　…　　… (2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成 0，得到如图所示的三角数表.从上往下数， 第1次全行的数都为1的是第1行，第2次 全行的数都为1的是第3行，…，第n次全 行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是___. 解析　观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1， 故第n次全行的数都为1的是第2n－1行； ∵n＝6?26－1＝63， 故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1， 第61行共有32个1. 2n－1 32 解析答案 解析答案 类型二　求展开式的系数和 例2　已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； 解　当x＝1时，(1－2x)7＝(1－2)7＝－1， 题中等式等号右边为a0＋a1＋a2＋…＋a7， ∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1. 当x＝0时，a0＝1. ∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2. 解析答案 (2)a1＋a3＋a5＋a7； 解　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1， ① 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37， ② 由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－1－37， 解析答案 (3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|. 解　由展开式，知a1，a3，a5，a7均为负，a0，a2，a4，a6均为正， ∴由(2)中①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝－1＋37， ∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7 ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝37＝2 187. 反思与感悟 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(