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2017-2018学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定(一)课件 苏教版选修2-1.pptVIP

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2017-2018学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定(一)课件 苏教版选修2-1

3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定(一) 学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义;会用待定系数法求平面的法向量. 3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题. 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一 直线的方向向量与平面的法向量 思考  怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置? 答案 (1)点:在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P的位置就可以用向量 来表示.我们把向量 称为点P的位置向量. (2)直线:①直线的方向向量:和这条直线平行或共线的非零向量. ②对于直线l上的任一点P,在直线上取 =a,则存在实数t,使得 (3)平面:①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.对于平面α上的任一点P,a,b是平面α内两个不共线向量,则存在有序实数对(x,y),使得 =xa+yb. ②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示. 梳理 (1)用向量表示直线的位置 条件 直线l上一点A 表示直线l方向的向量a(即直线的 ) 形式 在直线l上取 =a,那么对于直线l上任意一点P,一定存在实数t,使得 =____ 作用 定位置 点A和向量a可以确定直线的____ 定点 可以具体表示出l上的任意____ 方向向量 位置 一点 (2)用向量表示平面的位置 ①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定: 条件 平面α内两条相交直线的方向向量a,b和交点O 形式 对于平面α上任意一点P,存在有序实数对(x,y)使得 =xa+yb ②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定: 平面的法向量 直线l⊥α,直线l的 叫做平面α的法向量 确定平面位置 过点A,以向量a为法向量的平面是完全确定的 方向向量 (3)直线的方向向量和平面的法向量 直线的 方向向量 能平移到直线上的 向量a,叫做直线l的一个方向向量 平面的 法向量 直线l⊥α,取直线l的 ,n叫做平面α的法向量 非零 方向向量n (4)空间中平行关系的向量表示 设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为μ,v,则 线线平行 l∥m? ?a=kb(k∈R) 线面平行 l∥α?a⊥μ?_______ 面面平行 α∥β?μ∥v?___________ a∥b a·μ=0 μ=kv(k∈R) 知识点二 利用空间向量处理平行问题 思考  (1)设v1=(a1,b1,c1),v2=(a2,b2,c2)分别是直线l1,l2的方向向量.若直线l1∥l2,则向量v1,v2应满足什么关系. 由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2,则直线l1,l2的方向向量共线,即l1∥l2?v1∥v2?v1=λv2(λ∈R). 答案 思考  (2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量,则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行? 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直,进而确定线面是否平行. 答案 (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么? 关键是找到两个平面的法向量,利用法向量平行来说明两平面平行. 答案 利用空间向量解决平行问题时,第一,建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;第二,通过向量的运算,研究平行问题;第三,把向量问题再转化成相应的立体几何问题,从而得出结论. 梳理 题型探究 类型一 求直线的方向向量、平面的法向量 例1 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.AB=AP=1,AD= ,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量. 解答 因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形, 所以AB,AD,AP两两垂直. 设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量, 引申探究 若本例条件不变,试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量. 解答 如图所示,建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1, ,0), 即为直线PC的一个方向向量. 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z). 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z). 反思与感悟 (5)赋非零值:取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论:得到平面的一个法向量. 跟踪训练1 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形.平面PAB⊥平

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