2017-2018学年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 一 二维形式的柯西不等式同步配套教学案 新人教A版选修4-5.docVIP

一 二维形式的柯西不等式 　　　　　　　　　　　　 　对应学生用书P29 1．二维形式的柯西不等式 (1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． (2)二维形式的柯西不等式的推论： (a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d为非负实数)； ·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)； ·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)． 2．柯西不等式的向量形式 定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． [注意]　柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ. 3．二维形式的三角不等式 (1)定理3：＋≥(x1，y1，x2，y2∈R)． 当且仅当三点P1，P2与O共线，并且P1，P2点在原点O异侧时，等号成立． (2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有 ＋ ≥. 事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3共线，并且点P1，P2在P3点的异侧时，等号成立． 　　　　　　　　　　　　　 对应学生用书P29 利用柯西不等式证明不等式 [例1]　已知θ为锐角，a，b∈R＋，求证：＋≥(a＋b)2. [思路点拨]　可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“1＝sin2θ＋cos2θ.”然后用柯西不等式证明． [证明]　∵＋ ＝(cos2θ＋sin2θ) ≥2 ＝(a＋b)2， ∴(a＋b)2≤＋. 利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件． 1．已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：|ax＋by|≤1. 证明：由柯西不等式得 (ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝1， ∴|ax＋by|≤1. 2．已知a1，a2，b1，b2为正实数． 求证：(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2. 证明：(a1b1＋a2b2)＝[()2＋()2]≥ 2＝(a1＋a2)2. 3．设a，b，c为正数， 求证：＋＋≥ (a＋b＋c)． 证明：由柯西不等式： ·≥a＋b， 即·≥a＋b. 同理：·≥b＋c， ·≥a＋c， 将上面三个同向不等式相加得： ≥2(a＋b＋c) ∴ ＋ ＋ ≥ ·(a＋b＋c). 利用二维形式的柯西不等式求最值 [例2]　求函数y＝3sin α＋4cos α的最大值． [思路点拨]　函数的解析式是两部分的和，若能化为ac＋bd的形式就能用柯西不等式求其最大值． [解]　由柯西不等式得 (3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin2α＋cos2)＝25， ∴3sin α＋4cos α≤5. 当且仅当＝cos α0即sin α＝，cos α＝时取等号，即函数的最大值为5. 利用柯西不等式求最值 ①变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件； ②有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧； ③而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一． 4．已知2x2＋y2＝1，求2x＋y的最大值． 解：2x＋y＝×x＋1×y≤×＝×＝. 当且仅当x＝y＝时取等号． ∴2x＋y的最大值为. 5．已知2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值． 解：∵(4x2＋9y2)(22＋22)≥(4x＋6y)2＝4， ∴4x2＋9y2≥. 当且仅当2×2x＝3y×2，即2x＝3y时等号成立． 又2x＋3y＝1，得x＝，y＝， 故当x＝，y＝时，4x2＋9y2的最小值为. 6．求函数f(x)＝＋的最大值及此时x的值． 解：函数的定义域为[6,12]，由柯西不等式得 (＋)2≤(12＋12)[()2＋()2]＝2(x－6＋12－x)＝12， 即＋≤2. 故当＝时 即x＝9时函数f(x)取得最大值2. 　　　　　　　　　　　　　 对应学生用书P31 1．已知a，b∈R＋且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是(　　) A．P≤Q