2017-2018学年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 一 比较法同步配套教学案 新人教A版选修4-5.docVIP

一 比_较_法 　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P18 1．作差比较法 (1)作差比较法的理论依据a－b0?ab，a－b0?ab，a－b＝0?a＝b. (2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理，③判定符号，④得出结论． 其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定差的符号，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等． 2．作商比较法 (1)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质： ①b0，若1，则ab；若1则ab； ②b0，若1则ab；若1则ab. (2)作商比较法解题的一般步骤：①判定a，b符号；②作商；③变形整理；④判定与1大小关系；⑤得出结论． 对应学生用书P18 作差比较法证明不等式 [例1]　已知正数a，b，c成等比数列．求证：a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2. [思路点拨]　作差→变形→判定符号→结论 证明：因为正数a，b，c成等比数列， 所以b2＝ac，b＝， (a2－b2＋c2)－(a－b＋c)2 ＝a2－b2＋c2－a2－b2－c2＋2ab－2ac＋2bc ＝2ab－4b2＋2bc＝2b(a－2b＋c) ＝2b(－)2≥0. 所以a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2. (1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少． (2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法． (3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论． 1．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)． 证明：a2＋b2－2(a－b－1) ＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a－b－1)． 2．已知a，b∈R＋，n∈N＋， 求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)． 证明：∵(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1) ＝an＋1＋abn＋ban＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1 ＝a(bn－an)＋b(an－bn) ＝(a－b)(bn－an)． (1)若ab0时，bn－an0，a－b＞0， ∴(a－b)(bn－an)0. (2)若ba0时，bn－an0，a－b0. ∴(a－b)(bn－an)0. (3)若a＝b0时，(bn－an)(a－b)＝0. 综上(1)(2)(3)可知，对于a，b∈R＋，n∈N＋，都有(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1). 作商比较法证明不等式 [例2]　设a0，b0，求证：aabb≥(ab). [思路点拨]　不等式两端都是指数式，它们的值均为正数，可考虑用求商比较法． [证明]　∵aabb0，(ab) 0， ∴＝a·b＝. 当a＝b时，显然有＝1； 当ab0时，1，0，所以由指数函数单调性，有1； 当ba0时，01，0，所以由指数函数的单调性，有1. 综上可知，对任意实数a，b，都有aabb≥(ab) . 当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较． 3．设ab0，求证：. 证明：法一：－ ＝ ＝0， 所以原不等式成立． 法二：∵ab0，故a2b20. 故左边0，右边0. ∴＝＝1＋1. ∴原不等式成立． 4．若a＞0，b＞0，c＞0，求证：aabbcc≥(abc) . 证明：不妨设a≥b≥c≥0，那么由指数函数的性质，有 ≥1，≥1，≥1. 所以＝abc ＝··≥1. ∴原不等式成立. 比较法的实际应用 [例3]　甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？ [思路点拨]　先用m，n表示甲、乙两人走完全程所用时间，再进行比较． [解]　设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2 ，依题意有： m＋n＝s， ＋＝t2. ∴t1＝，t2＝. ∴t1－t2＝－ ＝＝－. 其中s，m，n都是正数，且m≠n， ∴t1－t20.即t1t2. 从而知甲比乙先到达指定地点． 应用不等式解决实际问题时， 关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断． 5．某人乘出租车