多姿多彩的分形几何学(xu).ppt

一门新兴的学科 ——多姿多彩的分形几何学 许 绍 元 教授 可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人。 ——美国著名物理学家惠勒（ Wheeler ） 问 题 的 提 出 你知道人脑表面的皱纹、菜花纹路可以用数学来刻画吗？ 你知道各大江主支流的状况可以用数学来刻画吗？ 你知道演绎了旷世恋情的《泰坦尼克号》电影中那条豪华游轮在危难时的“ 海浪背景 ” 是如何生成的吗？ 你知道维数可以是分数吗？ 认 识 分 形 如果你从未听说过 “ 分形 ” ，一时又很难搞清楚分形是什么，有一个简单迅捷的方法：去市场买一颗新鲜的菜花（花椰菜），掰下一枝，切开，仔细观察，思考其组织结构。这就是分形！ 分形可以是自然存在的，也可以是人造的：花椰菜、树木山川、云朵、脑电图、材料断口等都是典型的分形。再想想闪电、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支气管、星系、各种生物体的表面、小肠绒毛、大脑皮层等等的形状、结构！ 分形 ( fractal ) 分形几何理论诞生于 20 世纪 70 年代，创始人是美国科学院院士、著名数学家曼德尔布罗特（ B. B. Mandelbrot )，他 1982 年出版的《自然界中的分形几何学》 ( The Fractal Geometry of Nature ) 是这一学科经典之作。 分形 ( fractal ) 是近 20 多年来科学前沿领域提出的一个非常重要的概念。 混沌 ( chaos )、孤立子( solitons )和分形 ( fractals )是非线性科学 ( nonlinear science ) 中三个最重要的概念。 报 告 提 纲 一、从研究 “英国的海岸线有多长”所引发的问题 二、分形几何学发展的历史回顾 1. 对几类分形集的认识 2. 对长度、面积等度量概念的重新探索 3. 分形几何学的创立 三、分形概念的建立 1. 对产生分形实际背景的分析 2. 分形的直观描述 四、分形维数 1. 经典的拓扑维数 2. 由维数与测量尺度的密切关系而得到的启示 3. 自相似维数与豪斯道夫维数 4. 计算分形维数的典型例子 5. 分形的描述性定义 五、分形在当代社会中的应用 1. 在一些学科方面的应用举例 2. 一些分形维数的实际例子 3. 两个有趣的应用实例 4. 分形的计算机编程实现 六、结束语 1. 分形几何学与欧几里得几何学的比较 2. 陈省身的观点 3. 分形几何学发展的意义和作用 4. 多姿多彩的分形几何学火焰 一、从研究“英国的海岸线有多长”所引发的问题 1967 年曼德尔布罗特在《 科学 》上发表了题为《英国的海岸线有多长?——统计自相似性与分数维数》的著名论文。 此文的原由在于曼德尔布罗特发现许多国家公布的公共边界线存在极大的误差，往往是大国公布的公共边界线短，而小国公布的公共边界线长。 原因在于边界线是一条复杂的曲线，所用的测量尺度越小，测量的长度就越长。 二、分形几何学发展的历史回顾 分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支, 它的研究对象是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体。分形理论的数学基础是分形几何学。 分形理论的发展大致可分为三个阶段。下面简要回顾一下分形理论在这三个历史阶段的发展过程。 第一阶段：对几类分形集的认识 自 1875 年至 1925 年 , 人们已认识到几类典型的分形集 , 并且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻划。 ? 自然界中的所有形状和人类迄今所考虑的一切图形，大致可分为如下两种：一种是有特征长度的图形；另一种是不具特征长度的图形。属于具有一定特征长度的一类物体的基本形状，具有其线、面为光滑的共同性质。 1827 年发现的布朗（ R. Brown ）运动是一种极为典型的随机分形集，其轨迹连续但处处不可微。 维尔斯特拉斯函数 1872年，德国分析学大师魏尔斯特拉斯(K. Weierstrass)构造出函数 证明了它连续而处处不可微。这一反例在当时引起了极大的震动。遗憾的是，尽管人们在观念上产生了改变，但仍视这种类型的函数为“病态”之例而打入另册。