微分方程模型在实际中的应用浅析 .doc

引 言 微分方程（differential equation）指含有自变量、未知函数及其导数的方程，是常微分方程和偏微分方程的总称。 在17-18世纪社会生产力发展的需求与科学数学化进程的影响下，微积分本身进一步深入发展并在力学、物理学、声学和几何学等方面广泛应用，刺激和推动了一系列应用分支的形成。微分方程理论正是在这一时代背景下产生的。 同期出现的还有微分几何、变分法、无穷级数等，它们与微分方程理论相互影响，相互促进。 微分方程是伴随着微积分的产生和发展而成长起来的一门历史悠久的学科，从诞生之日起很快就显示出它在应用上的重要作用，特别是作为牛顿力学的得力助手，在天体力学和其它力学领域显示出巨大的功能。牛顿通过解微分方程证实了地球绕太阳的运动轨道是一个椭圆；海王星的存在是天文学家先通过微分方程的方法推算出来，然后才实际观测到的。随着科学技术的发展和社会的进步，微分方程的应用不断扩大和深入。时至今日，可以说微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域都有着广泛的应用。在数学学科内部的许多分支中，微分方程是常用的重要工具之一，也是整个数学课程体系中的重要组成部分。微分方程每一步进展都离不开其它数学分支的支援；反过来，微分方程进一步发展，又推动着其它数学分支的发展。 微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科，自 1693 年微分方程概念的提出到动力系统的长足发展，常微分方程经历漫长而又迅速的发展，极大丰富了数学家园的内容。随着社会技术的发展和需求，微分方程会有更大的发展，比如偏微分方程的迅速发展。有理由预测：随着依赖数学为基础的其它学科的发展 ,微分方程还会继续扩展。 本文主要介绍以常微分方程作为工具，对一些实际问题建立微分方程模型，然后求出微分方程的解，从而解决相应的实际问题，进一步了解微分方程在描述客观世界中的作用。 一、微分方程模型在经济学中的应用[14] 1.经济增长分析模型 [3] 模型基本假设有: (1)全社会只生产一种产品，可以是投资品，也可以是消费品； （2）生产过程中只用两种生产要素，即劳动力和资本，且这两种要素之间相互不能替代； （3）储蓄是国民收入的函数； （4）不存在技术进步，也不存在资本折旧问题； （5）生产规模报酬不变； （6）劳动力按照一个固定不变的比率增长。 解：设S(t)为 t 时刻的储蓄，I(t)为t时刻的投资，Y(t)为t时刻的国民收入， 可以建立如下的简单经济增长模型： , 上式中、均为正常数，为初期国民收入，＞0。 方程(1)表示储蓄与国民收入成正比（ 称为储蓄率）， 方程(2)表示投资与国民收入的变化率成正比（称为加速数）， 方程(3)表示储蓄等于投资。 由前三个方程消去S(t)和I(t)，可得关于Y(t)的微分方程: , 即 , 两边同时积分得到 , 其通解为 ， （c为任意常数） 由出初始条件 , 得， 所以 。 于是 。 由＞0可知， 都是关于t的单增函数。 此模型提出经济增长的决定性变量是资本或储蓄的形成，一个经济增长的能力依赖于一个经济的储蓄能力，政府可以通过刺激资本积累、调节储蓄水平来实现经济的长期增长。 2.市场均衡价格分析模型[13] 模型：设某种商品，其价格主要由市场供求关系来决定，且该商品的市场价格 P= P( t)一般会随时间的变化而变动,该商品的需求量，供给量，都只与该商品的价格P有关。 解：设需求函数与供给函数分别为： ， 当需求量与供给量相等时，即时，由(1)（2）式可得价格 （此时称为该商品的均衡价格）。 一般地，当市场上该商品供过于求()时，价格将下跌；供不应求()时，价格将上涨。因此，该商品的价格将随着时间的变化而围绕着均衡价格 上下波动。 假设t时刻价格P(t )的变化率与t时刻的超额需求量 成正比，即设 ， 其中K为正常数，反映了价格的调整速度。 将（1）（2）代入（3）得 ， 为一阶可分离变量的微分方程，可化为：