勾股定理与弦图（教师版）.doc

第6讲 勾股定理与弦图 【】 3、在直角三角形中，为斜边，为直角边，为直角边，是斜边上的高。、、分别是边、、的边长。 4、勾股定理：。；。 5、其他性质：，,。 【例题精解】 . 【】C13，a=3，b=8。 有一个直角边为1 和1 的直角三角形，以它的斜边和1 为直角边，向外作另一个直角三角形.重复以上操作，如下图.求第1023 个直角三角形的斜边长度是_____.第_____个直角三角形的斜边长度是17. 【】 【例3】 如图所示，已知长方形的长是宽的倍，对角线的长是，则长方形的面积是 。 方法一：如下图，设长方形宽是。则正方形的面积为，且，所以，所以长方形的面积为。 方法二：设长为，宽为。根据勾股定理：，所以，而长方形的面积为 【例4】 如图，大正方形由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成。若大正方形的面积为，每个直角三角形两条直角边的和是，求中间小正方形的面积。 方法一：设直角边中较长的为，较短的为，则小正方形的边长为，由题意得，解得，所以小正方形的面积为： 方法二：如下图所示，四个直角三角形外翻后刚好组成一个新的正方形。这个正方形的边长即是，新正方形的面积为原大正方形的面积加上四个直角三角形的面积。所以有 ， 解得。。 【例5】 用一张斜边长为的红色直角三角形纸片，一张斜边为的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，如图所示拼成一个直角三角形。问：红、蓝两张三角形纸片面积之和是多少？ 设黄色正方形纸片的边长为，红、蓝两个三角形相似，，，所以，。根据勾股定理：，解得。红蓝两张三角形纸片的面积之和为： 【例7】 如图所示，一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为，则的取值范围是 。 当筷子贴壁插在水中时，露出的长度最长为。当如图所示斜插时，在杯子内的长度最长，刚好与杯子底面直径和杯子高度组成一个直角三角形，筷子杯内长度根据勾股定理可求得为，则，所以。 【例8】 沿直线将一个长方形剪掉一个角后形成一个五边形，已知这个五边形条边的长度分别是厘米、厘米、厘米、厘米、厘米（未必是按顺序的）。这个五边形的面积是多少平方厘米？ 长方形的长一定是厘米，又知截下的一角为直角三角形，三边关系应满足勾股定理，尝试后发现只有两种情况符合。 相对应的面积为，。 所以这个五边形的面积是或平方厘米。 【】 【例9】 一张边长为20厘米的正方5厘米处，沿45(如右图)，中间形成一个.小正方形的面积是多少平方厘米? 【】 【例10】如图所示，直角三角形的两个直角边分别为厘米和厘米。问下图中个正方形面积之和比个三角形面积之和大多少？ 如图，延长,，过,分0.别作,的平行线，在正方形内相交形成四个与相等的直角三角形和一个正方形。与的底和高相等，所以面积相等；同理和的面积相等；、、和这四个三角形相等，面积也相等。所以可得正方形内四个全等的直角三角形面积之和与四个白色的三角形面积之和相等。 小正方形的边长为厘米，所以面积为平方厘米，而另外两个正方形、的面积分别为,。所以原图中个正方形面积之和比个三角形面积之和大平方厘米。 如图，在线段上，和都是正方形，面积分别是平方厘米和平方厘米。求三角形的面积等于多少平方厘米？ 【解析】 过点作的垂线，交的延长线于点。绕点逆时针旋转与重合。，所以，那么，所以 三角形中，线段、分别是、边上的中线，且与互相垂直，如图所示，已知、。请问等于多少？ 连结。因为、分别是、边上的中点，所以，。根据勾股定理：，，，。所以，解得。所以。 【例13】 一个边长为的正方形和一个斜边长为的等腰直角三角形组合成如图所示图形，其中，试将图剪成块，再拼成一个正方形。请在原图上标明分割线，并画出正方形的拼合图。 图的面积应该是正方形面积与等腰直角三角形面积之和，可以计算得等腰直角三角形的面积为，所以要拼成的大正方形面积应该为，根据勾股定理，要拼成的大正方形的边长实际上是以、为直角边的直角三角形的斜边。如图剪两刀，将图形分成三块。将①号块绕点逆时针方向旋转，再将②号块绕点顺时针旋转，就可以拼成一个正方形。 【例14】 如图所示，直角三角形的两条直角边长为、，斜边为。以、为边长分别作两个正方形。请在为边长的正方形内添出辅助线，使得沿辅助线剪下的部分可以和为边长的正方形组成一个新的正方形。并在新的正方形中将各个版块的位置标明。 过为边长的正方形的中心作三角形斜边的平行线，再过中心作这条平行线的垂线。如此将为边长的正方形分成部分：、、、。这四部分刚好可以和为边长的正方形拼成一个边长为的新正方形。 【例15】 在直线上依次摆放着七个正方形，如图。已知斜放置的三个正方形的面积分别是、、，正放置的四个正方形面积依次是、、、，则。 代表