《工程数学》(总)解答.doc

工 程 数 学 作业册 解答 华南理工大学网络教育学院作业一：线性代数 一．问答题 1．叙述三阶行列式的定义。 答：定义1：用个数组成的记号表示数值： 称为三阶行列式，即： ＝ 定义2：用个数组成的记号D＝表示数值： ＋＋＋ 称为n阶行列式。 2．叙述n阶行列式的余子式和代数余子式的定义，并写出二者之间的关系。 答：定义：在n阶行列式D中划去所在的第i行和第j列的元素后，剩下的元素按原来相对位置所组成的（n－1）阶行列式，称为的余子式，记为，即 ＝ 称为的代数余子式，记为，即 ＝ 3．叙述矩阵的秩的定义。 答：定义：设A为mn矩阵。如果A中不为零的子式最高阶为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作（秩）＝r或R（A）＝r 4．叙述对称阵、可逆矩阵的定义。 答：定义1：满足条件的方阵称为对称阵。其特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。 定义2：对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使得AB＝BA=E，其中E为n阶单位阵，则称A为可逆阵，称B为A的逆矩阵。 5．叙述矩阵的加法运算、数乘运算定义。 答：定义1：设两个mn矩阵 A＝，B＝ 则称mn矩阵为矩阵A与B的和，记作A＋B 定义2：以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵，称为数k与矩阵A的积，记作kA，如果A＝，那么kA=,即 kA= 6．叙述向量组的线性相关和线性无关的定义。 答：定义：设有向量组如果存在一组不全为零的数使得 成立，则称向量组线性相关。否则，即仅当时，才有成立，则称向量组线性无关。 7．齐次线性方程组的基础解系是什么？ 答：定义：设T是的所有解的集合，若T中存在一组非零解满足 （1）线性无关； （2）任意，都可用线性表出 则称是此方程组的一个基础解系 8．试述克莱姆法则的内容。 答：克莱姆法则：如果线性方程组 的系数构成的行列式D,则此线性方程组有唯一解： 其中，是将系数行列式D中第j列元素对应地换为常数项得到的行列式 二．填空题（共8题，每题4分，共计32分） 1．行列式????????????4?? ??? ． 2．若是对称矩阵，则??? ?O? ?? 。 3．设＝，则?? ?18|A| ??． 4．设均为3阶矩阵，且，则 。 5．设行列式，则中元素的代数余子式= ． 6．阶行列式中元素的代数余子式与余子式之间的关系是 。 7．设矩阵中的阶子式，且所有?? r+1 ??阶子式（如果有的话）都为0，则。 8．设，则??? 。 9．如果齐次线性方程组的系数行列式，那么它有???? 只有零 ?? 解． 10．齐次线性方程组总有?? ?0? ? 解；当它所含方程的个数小于未知量的个数时，它一定有? 非零 ?? 解。 11．用消元法解线性方程组，其增广矩阵经初等行变换后,化为阶梯阵 ????????????????， 则 (1)当=0, 时, 无解; (2)当=0, =0时, 有无穷多解; (3)当, 是任意实数时, ?有唯一解. 三．计算题 1．计算行列式． 解：原行列式可化为： ＝＝ 2．计算行列式． 解：原行列式可化为：＝＝＝（）＝ 3．计算行列式． 解：原行列式可化为： ＝＝－（） ＝－（－2600＋1400－600）＝1800 4．设矩阵，求。＝ ＝＝0 5．已知行列式，写出元素的代数余子式，并求的值．? 解： ＝54 6．设，，求。－＝ ＝ 7．求矩阵的秩。→→→ 所以，矩阵的秩为2 8．解齐次线性方程组。 解：对系数矩阵施以初等变换： A＝→→→→ 与原方程组同解的方程组为： 所以：方程组的一般解为 （其中，为自由未知量） 9．试问取何值时，齐次线性方程组有非零解？ 解：系数行列式为： 所以，当时，该齐次线性方程组有非零解． 10．解线性方程组。 解：对增广矩阵施以初等行变换： 所以，原方程组无解。 11．解线性方程组?。 解：对增广矩阵施以初等行变换： →→→→ 与原方程组同解的方程组为： 所以：方程组的一般解为 ? (是自由未知量); 12．设矩阵，解矩阵方程。 解：； 由于.则有 四．应用题 7．某工厂采用三种方法生产甲乙丙丁四种产品，各种方案生产每种产品的数量如下列矩阵所示： 若甲乙丙丁四种产品的单位成本分别为10、12、8、15（万元），销售单位价格分别为15、16、14、17（万元），试用矩阵运算计算用何种方法进行生产获利最大？ 解：设单位成本矩阵，销售单价矩阵为，则单位利润矩阵为，从而获利矩阵为，于是可知，采用第二种方法进行生产，工厂获利最大。  作业二：概率论 一．问答题 1．试写出概率的古典定义。 答：概率的古典定义： 设随机试验为古典概型，它的样本空间