章节1-6.ppt

　　 静电学的问题可以归结为在给定第一类边界条件或第二类边界条件下,求解泊松方程。并证明了解的唯一性,无论用什么方法求出的解只要满足唯一性定理的条件,解就是唯一的。 要视不同情况采用不同的解法,没有普遍适用的方法。 只有在界面形式是比较简单的几何曲面时,才可以写出解析形式的解。 　　介绍两种最常用的最基本的解法： 分离变量法和电象法。 1.6 分离变量法 1.6.1 适用范围 ⑴求解区域中介质分区均匀，且自由电荷 , 或者自由电荷都分布在区域的界面上，电势 ? 满足拉普拉斯方程 。 ⑵在求解区域内 ，但 分布具有某种对称性， 用简单的方法可找到 的特解?’ 用分离变量法求拉普拉斯方程满足一定边界条件的解。 q x q x 0 　　必须注意：在许多情况下，场方程的形式都是一样的。 　　例如：一个位于原点的点电荷q产生的电势，除原点外都满足?2? ?0。 若在点电荷的左方放一块无穷大的接地导体板。此时在导体板上将感应出面电荷密度?，空间的场是由?和q共同激发的，但由于?不在场方程中出现，所以除q所在点外，场方程仍为?2? ?0，和单独一个点电荷q产生的电势? 满足的方程一样。 　　●场方程中只包含我们讨论区域内的电荷体密度，而区域边界面上的面电荷甚至区域外的电荷对区域内场的影响都没有包含在内。 ●边界条件是反映边界面和区域外的电荷对区域内电场的影响。 　　场方程在许多情况下是相同的，而视具体问题，边界条件和边值关系不同。 　　例如：点电荷?|r?? ? 0， 　　　　　接地导体板与点电荷还有x ? 0面上? ? 0。 1.6.2　求解步骤 拉普拉斯方程?2? ? 0的通解，可用分离变量法求出。 求解步骤： ①按照表面和分界面的形状选择适当的坐标系；（可选用直角、柱、球、极坐标系） ②分区列出方程，并写出拉普拉斯方程在该坐标系的通解；（通解数理方法中已求出，可直接写出） ③写出边界条件和边值关系；（这是关键） ④根据边界条件和边值关系确定系数；（通解中的系数） ⑤讨论解的物理意义。 　　边界条件有两类：一类是包围待求场区域外部边界上的条件；另一类是在区域内部各分区界面上的条件。 　★首先，应分析外边界上的条件。 通常是求全空间的场，这时外部边界是r?0与r??两个面。 ①若原点没有电荷，则r?0处电势有限。 ②若电荷分布在有限区域，则r??处电势为零。 ③若存在均匀外电场Ez ? E0ez，在无限远处，? ??E0z+常数。 　　有均匀电场时，不能把电势零点选在无限远处，若选原点为电势零点，无限远处的边界条件为：? ??E0z。在球坐标系中：? ??E0rcos? 。 ★其次，分析区域内部各分区界面上的边值关系。 在分界面上若电场有限，则电势连续，?1??2。 在两种介质的分界面上有 若存在导体，则在导体上可能有如下两个条件之一。 给定导体上的电势? ?S， 或给定导体上的总电荷Q，即： M￠ M ? 1.6.3　球坐标下拉普拉斯方程的解 在许多静电问题中，常遇到表面或分界面是球面，这时用球坐标比较方便。 在球坐标系中以变量r,?,?表示空间任一点M的位置 拉普拉斯方程的球坐标形式（?是电势） 若我们所讨论的问题具有轴对称性，则?不随?而改变。此时，方程为 方程的解： 其中， 为待定的常数， 为勒让德函数。 P x 0 z θ 1.6.４　举例 例1　设一半径为a的接地导体球置于均匀外场E0中，球外为真空，求电势。 解　由于导体球接地，球面电势为零，场强在球面上有突变，故须分球内外为两个不同的区域，球面为分区的表面。球内电势处处为零，只需求球外区域的解。 球外区域的边界面为球面及无穷远面，区域内无自由电荷，满足?2? ?0。 这一问题对通过球心平行于电场方向的直线具有旋转对称性，我们取球心为坐标原点，极轴沿着E0的方向。 由于电势对极轴对称，?与?角无关，球外区域电势?为 导体球置于均匀电场E0中，球面产生感应电荷，在球周围引起电场变化，但球的大小是有限的，它对外场的影响只是局部的，可认为在无限远处电场不受影响，仍保持原有的性质，仍是均匀场E0，所以离球极远处 ①无穷远面，即r??处 ②在导体球面上，即r?a处 可写出边界条件： 由条件①可得： 要使上式对任何?值都成立，Pn(cos?)的系数应分别相等。 因为右边n ?1, P1(cos?) 左边也取n ?1 又因为 可得： 由条件②可得： 因为右端为零，则要求各个Pn(cos?)的系数均为零 则有 最后得到球外电势： ?可看作两部分，一部分是均匀电场的电势 ?E0rcos?