椭圆(吴).ppt

椭 圆 的 定 义 中国人民大学附属中学 一 椭圆的定义 在平面内，到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。 二 椭圆的标准方程 设M(x, y)是椭圆是上任意一点，椭圆的焦距为2c (c0)，则建立直角坐标系，使F1、F2的坐标分别是F1(－c, 0), F2(c, 0)，若M点与F1、F2两点的距离的和等于2a (ac0)，则 |MF1|＋|MF2|＝2a,即 * * 将这个方程移项，两边平方，得 两边再平方，得 a4－2a2cx+c2x2=a2x2－2a2cx+a2c2+a2y2, 整理得 (a2－c2)x2+a2y2=a2(a2－c2), 由椭圆定义可知，2a2c, 即ac, ∴ a2－c20, 设b2=a2－c2 (b0), 得 b2x2+a2y2=a2b2, 两边除以a2b2得 例一. 平面内两个定点的距离是8, 写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程. 解: 这个轨迹是一个椭圆, 两个定点是焦点,用F1, F2表示, 取过点F1和F2的直线为x轴, 线段F1F2的垂直平分线为y轴, ∵ 2a=10, 2c=8, ∴ a=5, c=4, b2=a2－c2=9, b=3, 因此,这个椭圆的标准方程是 即 例二. 已知△ABC的周长为16，其中A(－3, 0), B(3, 0), 求顶点C的轨迹方程。 解：∵ |CA|+|CB|+|AB|=16,且|AB|=6, ∴ |CA|+|CB|=10, 即点C到A、B两点的距离的和等于常数10， ∴ C点的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆， 在椭圆中，c=3, 2a=10, a=5, ∴ b=4, ∴ 点C的轨迹方程是 例三. 设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，且焦点到椭圆长轴端点的最短距离是3，求此椭圆的方程。 解：在等边△BF1F2中，BF1＝BF2＝a, F1F2=2c, ∴ a=2c, 且AF2=a －c=3, ∴ c=3, a=6, ∴ b2=36－9=27, ∴ 椭圆的方程是