【步步高】2015年高考数学(苏教版-理)一轮题库：选修4-第2讲-矩阵和变换.doc

第讲 1． 正如矩阵A＝，向量β＝求向量α，使得A＝β.解∵A2＝＝设α＝，由A＝β，得＝解得＝2．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程． 解　设P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点P(x0，y0)在矩阵A对应的变换下变为点P′(x′0，y′0)则有 ＝ ，即 又点P在椭圆上，故4x＋y＝1，从而x＋y＝1. 曲线F的方程是x2＋y2＝1. 3．已知矩阵M＝，N＝，且MN＝. (1)求实数a、b、c、d的值； (2)求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程． 解　(1)由题设得：解得 (2)矩阵M对应的线性变换将直线变成直线(或点)， 可取直线y＝3x上的两点(0,0)，(1,3)， 由 ＝， ＝， 得点(0,0)，(1,3)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点(0,0)，(－2,2)． 从而，直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y＝－x. 4．若点A(2,2)在矩阵M＝对应变换的作用下得到的点为B(－2,2)，求矩阵M的逆矩阵． 解　由题意，知M＝， 即＝， 解得 M＝. 由M－1M＝，解得M－1＝. 5．已知二阶矩阵A＝，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a1＝，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a2＝，求矩阵A. 解　由特征值、特征向量定义可知，Aa1＝λ1a1， 即＝－1×，得 同理可得解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1. 因此矩阵A＝. 6．已知矩阵M＝，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量． 解　由矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝ (λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M的特征值． 设矩阵M的特征向量为， 当λ1＝2时，由M＝2，可得 可令x＝1，得y＝1， α1＝是M的属于λ1＝2的特征向量． 当λ2＝4时，由M＝4，可得 取x＝1，得y＝－1， α2＝是M的属于λ2＝4的特征向量． ．求曲线C：xy＝1在矩阵M＝ 对应的变换作用下得到的曲线C1的方程． 解　设P(x0，y0)为曲线C：xy＝1上的任意一点， 它在矩阵M＝对应的变换作用下得到点Q(x，y) 由 ＝，得 解得 因为P(x0，y0)在曲线C：xy＝1上，所以x0y0＝1. 所以×＝1，即x2－y2＝4. 所以所求曲线C1的方程为x2－y2＝4. ．已知矩阵A＝，B＝，求(AB)－1. 解　AB＝ ＝. 设(AB)－1＝， 则由(AB)·(AB)－1＝， 得 ＝，即＝， 所以解得故(AB)－1＝. ．设矩阵M＝(其中a0，b0)． (1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1； (2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a、b的值． 解　(1)设矩阵M的逆矩阵M－1＝， 则MM－1＝. 又M＝. ＝. 2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1， 即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝， 故所求的逆矩阵M－1＝. (2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)，则 ＝，即又点P′(x′，y′)在曲线C′上， ＋y′2＝1.则＋b2y2＝1为曲线C的方程． 又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故 又a0，b0， 10．已知梯形ABCD，其中A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)，D(1，2)，先将梯形作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M.(2)求点A，B，C，D在T作用下所得到的结果．解(1)关于x轴的反射变换矩阵为M＝，逆时针旋转90的变换矩阵为＝＝故M＝M＝＝(2)A′：＝，即A′(0，0)．：＝，即B′(0，3)．： ＝，即C′(2，2)．：＝，即D′(2，1)．．已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M； (2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系； (3)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程． 解　(1)设M＝，则 ＝8＝， 故因 ＝，故 联立以上两方程组解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4， 故M＝. (2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为 f(λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16， 故其另一个特征值为λ＝2. 设矩阵M的另一个特征向量是e2＝， 则Me2＝＝2，解得2x＋y＝0. (3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为(x′，y′)，则＝， 即x＝x′－y′，y＝－x′＋y′，代入直线l的方程后并化简得x′－y′＋2＝0，即x－y＋2＝0. ．已知矩阵A＝，A的一个特征值λ＝2，其对应