考点强化：以四边形为背景计算和证明.pptx

考点强化六以四边形为背景的计算与证明四边形中的计算通常涉及勾股定理、相似三角形、锐角三角函数、图形的变换(平移、对称、旋转)等知识，解题时注意分类讨论思想、方程思想的运用．特殊四边形中的计算和证明是常见的题型，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题的关键．阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题——如图1，从A点出发，到笔直的河岸l去饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA＋PB＝A′B的值最小．难度值0.60例题1解答问题：(1)如图2，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角 形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P， 使PC＋PE的和最小，则这个最小值为____．4点拨 根据正方形的性质，点C关于BD的对称点为点A，根据轴对称——最短问题知识可知，AE为PC＋PE的最小值；解 根据正方形的性质可知，点C关于BD的对称点为点A，∴PC＋PE的和的最小值为AE，∵正方形ABCD的面积为16，∴AB＝4，∵△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝4，∴PC＋PE的和的最小值为4.点拨解答案(2)如图3，菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝120°，E是AB的中点，P是 对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值为____．点拨 根据菱形的性质，点B关于AC的对称点为点D，根据轴对称——最短问题知识可知，DE为PE＋PB的最小值，根据已知条件计算出DE即可；点拨解答案解 根据菱形的性质可知，点B关于AC的对称点为点D，∴DE为PE＋PB的最小值，∵∠B＝120°，∴∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，∵AB＝2，∴DE＝ ，∴PE＋PB的最小值为 .(3)如图4，已知菱形ABCD的边长为6， ∠DAB＝60°.将此菱形放置于平面 直角坐标系中，各顶点恰好在坐标 轴上．现有一动点P从点A出发，以 每秒2个单位的速度，沿A→C的方 向，向点C运动．当到达点C后，立 即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即 以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动．当到达点B时， 整个运动停止．为使点P能在最短的时间内到达点B处，则点M的坐 标是什么？点拨解点拨 根据题意可知，当PB⊥AB时，点P能在最短的时间内到达点B处，求出点M的坐标即可．考题分析本题考查的是四边形知识的综合运用，灵活运用轴对称——最短问题是解题的关键．注意：正方形和菱形的对角线垂直且互相平分，即正方形和菱形不相邻的两点关于另一条对角线轴对称．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部，将AF延长交边BC于点G.求CG的长．点拨 连接EG，首先证明△EFG≌△ECG，得到FG＝CG，设CG为x，用含x的代数式分别表示AG，BG，再利用勾股定理建立方程．点拨解难度值0.55例题2 解 如图，连接EG. ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠D＝∠C＝90°，DC＝AB＝4，BC＝AD＝2， 由题意得：EF＝DE＝EC＝2，∠EFG＝∠D＝90°， 在Rt△EFG与Rt△ECG中， ∴△EFG≌△ECG(HL)， ∴FG＝CG.考题分析折叠问题在中考中经常出现，解决这类问题的关键是抓住折叠后产生的全等图形带来的信息，并注意利用折痕所在的直线垂直平分对应点的连线这一性质．本题的解题关键是连接EG，构造出全等三角形，并利用折叠的性质，将已知条件逐步转化集中到△ABG中，再由勾股定理建立方程，求出CG的长．本题对分析问题、解决问题的能力提出了一定的要求．边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点(点P与A、C不重合)，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD(或AD延长线)交于点F.(1)连接CQ，证明：CQ＝AP；点拨 证出∠ABP＝∠CBQ，由SAS证明△BAP≌△BCQ可得结论；点拨解难度值0.50例题3 解 证明：∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ， ∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴BA＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝∠PBQ， ∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ. 在△BAP和△BCQ中， ∴△BAP≌△BCQ(SAS)，∴AP＝CQ.(2)设AP＝x，CE＝y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时， CE＝ BC；点拨 证明