电磁场与电磁波em4.doc

静态场的解 常微分方程: 上式为一次线性常微分方程；，则方程为齐次的； 如，则方程为非齐次的； 在均匀媒质中，静态场中的电位的求解： 有源区域：电位满足泊松(poisson)方程；为非齐次方程，特解（源电荷产生）+通解（拉普拉斯方程）； 无源区域：电位满足拉普拉斯(laplace)方程；为齐次方程，通解。 本章是在已知边界条件下求标量位的拉普拉斯方程的解。求解边值问题的方法有两大类： 解析法：分离变量法（只适用于拉普拉斯方程）；镜像法；（二维场中）复变函数法（保角变换法；将复杂边界条件变换为简单形状的边界面） 数值法： 有限差分法，有限元法，边界元法，矩量法。 三类边界条件：1）已知边界上；2）已知边界上；3）已知1）+2） 唯一性定理：在每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。 两不同媒质交界面上所应用的边界条件： ； 电荷分布在有限区域，则无穷远处的电位为零； 如果坐标原点无点电荷存在，则坐标原点的场为有限值。 §4.1 直角坐标系中的分离变量法 * 掌握直角坐标系中的分离变量法，及几种解的形式，注意解的形式应满足边界条件。 在所给定解边界与直角坐标系符合或部分相合时，应用此法。 分离变量法将解表示为三个函数的乘积；每一函数分别仅是一个坐标的函数。通过分离变量可以把偏微分方程化为常微分方程来求解。 直角坐标系中的拉普拉斯方程： (4.1.1) 令：???????????????? (4.1.2) 代入上式： 用去除上式得： (4.1.3) 上式每一项都只是一个变量的函数。上式成立的条件是每一项都必须等于一个常数。 (4.1.4) (4.1.5) (4.1.6) 由（4.1.3）式可得： (4.1.7) 分析：上式中三个分离常数不能全为实数，也不能全为虚数。 若kx为实数，则在直角坐标系(4.1.4)式的通解为： (4.1.8) 如果kx为虚数，kx=j?x，则(4.1.4)式的通解为双曲函数或指数函数： (4.1.9) 或 (4.1.10) 当时，(4.1.4)式的通解为: (4.1.11) 、的解与的解类似。 分析解：解的形式应与边界的情况或条件相吻合。 1)如果边界两边都为零，则应采用(4.1.8)解； 2)如果边界两边不全为零，如一边为固定值，而在远处电位为零，则应选择项作为解。 例：图中一个长方形体积内的电场。设除面电位不为零外，其它各表面电位都为零，表面上给定的电位函数为。 解：1）场在矩形空间内满足拉普拉斯方程。 2）边界条件： (1)在和面上，， 则x方向上可能的解中只有： 满足边界条件，x=a处，，则必须取下列值： 称为方程的本征值，它的意义是，在上述边界条件下，方程中的常数只有取这些特定的值，方程才有非零解。而解函数称为本征函数。 则解为: (4.1.12) An为待定常数。 (2)同理对于有： (4.1.13) 由(4.1.7)式： (3)在的可能解中，为满足时，, 必须选择。则通解为： 将边界条件、代入上式， 令： 边界条件变为： 上式是将一个已知的函数展成双重傅里叶级数。亦即求其展开系数。 求解傅里叶级数系数的一个方法, 将方程两边乘以,并对从从进行积分， 上式左边的积分中，由于三角函数的正交性，只有当n=s和m=t时其积分不等于零， 积分得： 对于不同的边界条件结果不同。 如果： 则对于上式，只有当s =1,t=1时积分不为零。故只有 2）如果 则系数为： 代回得： 其解为： 如果边界条件即表面电位有两处以上不为零，如时为，时为，时为，则可按上述方法分别求解后进行迭加。即： 时为，其余边界表面电位为零求得解； 时为，