一线性常系数微分方程LinearConstant-CoefficientDifferential.PPT

2.4 用微分和差分方程描述的因果LTI系统 例 （1）列写电路的微分方程 (2)求系统的完全响应 (3) (4) 二．微分方程的列写 三．求解系统微分方程的经典法 经典法 几种典型激励函数相应的特解 常系数线性差分方程的求解 零输入响应+零状态响应 3.特解 第 * 页 第2章 线性时不变系统 Linear Time-Invariant Systems III 在工程实际中有相当普遍的一类系统，其数学模型可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来描述。分析这类LTI系统，就是要求解线性常系数微分方程或差分方程。 一.线性常系数微分方程 （Linear Constant-Coefficient Differential Equation） 均为常数 ( Causal LTI Systems Described by Differential and Difference Equations ) 求解该微分方程，通常是求出通解 和一个特解 ，则 。特解 是与输入 同类型的函数，通解 是齐次方程的解，即 的解。欲求得齐次解，可根据齐次方程建立一个特征方程： 求出其特征根。在特征根均为单阶根时，可得出齐次解的形式为： 其中 是待定的常数。 根据电路形式，列回路方程 列结点电压方程 (1) 系统的特征方程 特征根 齐次解 方程右端自由项为 代入式(1) 要求系统的完全响应为 特解 换路前 因而有 由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变, 求得 要求的完全响应为 根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。 元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。 分析系统的方法：列写方程，求解方程。 求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。 我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应为 时的方程的解，初始条件 齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式 注意重根情况处理方法。 特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。 全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 。 激励函数e(t) 响应函数r(t)的特解 结论： LCCDE具有一组全部为零的初始条件可以描述一个LTI因果系统。这组条件是： 　如果一个因果的LTI系统由LCCDE描述，且方程具有零初始条件，就称该系统初始是静止的或最初是松弛的。 　如果LCCDE具有一组不全为零的初始条件，则可以证明它所描述的系统是增量线性的。　 二. 线性常系数差分方程: (Linear Constant-Coefficient Difference Equation) 一般的线性常系数差分方程可表示为： 与微分方程一样，它的解法也可以通过求出一个特解 和通解，即齐次解 来进行，其过程与解微分方程类似。 要确定齐次解中的待定常数，也需要有一组附加条件。同样地，当LCCDE具有一组全部为零的初始条件时，所描述的系统是线性、因果、时不变的。 对于差分方程，可以将其改写为： 可以看出：要求出 ，不仅要知道所有的 ，还要知道 ，这就是一组初始条件，由此可以得出 。进一步，又可以通过 和 ，求得 ，依次类推可求出所有 时的解。 若将差分方程改写为： 　则可由 求得 ，进而由 可求得 ，依次可推出 时的解。 由于这种差分方程可以通过递推求解，因而称为 递归方程（recursive equation）。 当 时，差分方程变为： 　　此时,求解方程不再需要迭代运算，因而称为非递归方程（nonrecursive equation）显然，此时方程就是一个卷积和的形式，相当于 　此时，系统单位脉冲响应 是有限长的,因而把这种方程描述的LTI系统称为FIR（Finite Impulse Response）系统。将递归方程描述的系统称为IIR（Infinite Impulse Response）系统,此时系统的单位脉冲响