36解结构.ppt

第三章 向量与线性方程组 例6　已知非齐次方程组 有3个线性无关的解 法2：利用Cramer法则 有无穷多解， 即 当 时， 当 时，即 且 时，方程组有唯一解。 所以方程组无解。 （１）证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2 （２）求a,b的值及方程组的通解 解: (1) 设X1 , X2, X3是该方程组的3个线性无关的 解, 则X1－X2, X1－ X3是对应的齐次线性方程组 AX=0的两个线性无关的解,因而4 －r(A) ≥2, 即r(A) ≤2,又A有一个二阶子式 于是r(A) ≥2, 因此r(A) =2 (2) 对增广矩阵 A =(A| b)施以初等行变换,有 因r(A)=2, 固 4－2a=0, 4a+b－5=0, 即a=2, b=－ 3 可的方程组的通解为 其中k1, k2为任意常数 例4 线性无关, 将 用 线性表示;若 线性相关,能否表示? 可唯一线性表示! 重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系. 第三章 向量与线性方程组 此时， 线性无关 可由 唯一线性表示为： 问 为何值时: (1) 可由 线性表示,且表示法唯一. (2) 可由 线性表示,且表示法不唯一. (3) 不能由 线性表示. 表示法不唯一； 不能表示. 题目可换个形式：已知 (如上) 题目也可改为：解方程组(类似于本章首次课补例) 例5(03考研)已知齐次线性方程组 其中 , 试讨论a1,a2, …,an和b满足何种关系 时, (1)方程组仅有零解？(2)方程组有非零解, 在有 非零解时，求此方程组的一个基础解系。 第三章 向量与线性方程组 (1)b≠0且b≠－ 时，方程组仅有零解. (2)b＝0时，原方程组等价于 …， 设a1≠0, 基础解系 a1x1+a2x2+…+anxn=0 第三章 向量与线性方程组 基础解系 * 复习 本章所讨论的一般方程组固定编号： 非齐次 齐次 (1) (2) 方程组(1)的系数矩阵与增广矩阵记为： — 线性方程组的向量形式 第二章 线性方程组 1. 是 的线性组合( 可由 线性表示) 2. 任一n维向量 都可由Rn的基本单位向量组唯一线性表示: 有解 (组合系数就是方程组的一个解) 3. 可表示为 的线性组合 第三章 向量与线性方程组 有非零解 (无) (只有零解) r n (r = n) 5. 线性相关 线性相关 不全为0， 4. 线性无关 仅当k1=k2=…=ks=0时成立. 重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系. 可否由 线性表示—— 竖排行变换， 放末列. 是否线性相关—— 竖排行变换. 求向量组的秩,并将其余……—— 竖排行变换. 第三章 向量与线性方程组 定理5.向量组 线性相关 (线性无关) (任一向量都不能由其余向量线性表示) 其中至少有一个向量是其余向量的线性组合 定理3.部分相关 整体相关；整体无关 部分无关 定理4. 短无关 长无关；长相关 短相关. 定理6. 线性无关， 线性相关 可由 唯一线性表示. 定理1. n个n维向量线性相关 (线性无关) (不为0) 定理2.向量个数向量维数， 其排成的行列式值为0 向量组线性相关. 定理7. 向量组(I)可由(II) ， (II)可由(Ⅲ)线性表示 向量组(I)可由(Ⅲ)线性表示 第三章 向量与线性方程组 定理8.向量组与其极大无关组等价. 推论 向量组的任意两个极大无关组等价 定理9 向量组 可由 线性表示,若t s，则 线性相关. 推论3 向量组的所有极大无关组所含向量个数相等 推论1(逆否命题) 推论2 等价的线性无关向量组所含向量个数相等. 线性表示 线性无关，且可由 定理10 推论：等价的向量组秩相等. 可由 线性表示 ≤ 定理11 矩阵A的行秩＝矩阵A的列秩＝矩阵A的秩 复习 本章所讨论的一般方程组固定编号： 非齐次 齐次 (1) (2)