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教案第二讲（4课时） 教学课题：极限 二、教学目标：1、了解极限的概念，知道数列的“--N”定义和函数极限的描述性定义，会求左右极限。 2、掌握极限的四则运算法则。 3、掌握用两个重要极限求一些极限的方法。 三、教学重点：极限的计算方法 四、教学难点：极限的概念 五、教学过程： §2。1数列极限 一、定义 直观上理解（2）ε—N定义法：设有数列xn和数a , 如果对于任意给定的正数ε﹥0，总存在自然数N，使得当nN时不等式︳xn—a ︳＜ε恒成立，则称数a是数列xn的极限。记为：limxn=a n ∞ (3)常见 数列极限 lim1/n=0,lim1/√x=0, limqn =0(?q?1),lima=a 二、数列极限性质 若 极限存在，则唯一。 数列有无 极限，极限是何值，与该 极限的任意有限项无关，将一个 数列增加或 删去有限项，不影响其极限。 如：10，200，300，1，1/2，1/3，1/4----------- 1/9，1/10，1/11，1/12----------------------- 极限 相同 ！ 有限项 数列一定 有界，反之，有界数列并非有限项。 （无界则一定无极限） 如：1，-1，1，-1，-------------- 三、数列极限四则运算（要在每一数列有极限的前提下使用） 例题1、求下列极限 ：（1）lim(3n+1)/(2n+1) n ∞ (2)lim2n/(n2+2n-1) (3)limn2/(n+1) n ∞ n ∞ (4)lim{(1+2+3+------+n)/(n+2)－n/2} (5)lim(1+1/2+----+1/2n )/(1+1/3+---+1/3n n ∞ n ∞ (6)lim(√n(n+2)－√x2－1 ) n ∞ nm 析：（1）～（3）小结lim(anxn+an-1xn-1+-----+a1x+a0)/(bmxm+bm-1xm-1+-------+b1x+b0)=an/bm n=m 0 nm (4) ～(5)利用等差和等比数列公式化简后求极限。 （6）分子有理化后再求极限 §2。2～§2。3 一、x +∞ 与 x －∞的极限 x +∞,arctgx Л/2 对于函数y=arctgx x －∞,arctgx －Л/2 二、x x0的极限 注： y=f(x)可以在x= x0处无意义！ 如：f(x)=(x2+x-6)/(x-2) 在x=2处无意义,但limf(x)=2(x 2) 三、左、右极限 x+1 x≤1 f(x)= x/2+2 x1 析：x 1－,f(x) 2 ,记f(1-0)=2--------------称2为f(x)在x=1处的左极限 x 1+,f(x) 5/2 ,记f(1+0)=5/2------------称5/2为f(x)在x=1处的右极限 注：(1)limf(x) 存在的充要条件是limf(x)和 limf(x)存在且相等。 x x0 x x0- x x0+ （2）极限不存在情形(a)函数值趋与无穷大 如：f(x)=1/x (x 0) (b) )函数值无穷摆动 如：f(x)=sin1/x (x 0) (c) 函数值有跳跃现象 如：f(x)=arctgx (x ∞) 例2、设 －1/（x-1） x0 f(x)= 0 x=0 ,求 f(0+0),f(0-0), ， x