第3-4节 相似矩阵和矩阵对角化.ppt

* * §3 相似矩阵 使得 则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似. 定义1: 设A, B都是n阶方阵, 若存在可逆矩阵P, 记为: A～B . 对A进行运算 称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P 被称为是把A变成B的相似变换阵. 一、相似矩阵 性质: 1）反身性: A～A; 2）对称性: 若A～B，则B～A ; 3) 传递性: 若A～B，B～C，则A～C. 相似矩阵的运算性质(由定义可得到): 设 则 1) 2) 3) 4) 其中f (B1)为关于B1一个多项式，f (A1)为关于 特别: 5）若A1, B1可逆，则 特别: 若令 则(2)中的 k 可取任何整数. A1的多项式. 解: 可求得其分别对应的特征向量: 显然这两个向量线性无关. 设 例1: 设 求 求得 定理1: 若n阶矩阵A与B相似, 则它们的特征多项 式相同, 从而其特征值也相等. 证: 因为A与B相似, 即有可逆矩阵P, 使 故 即A与B的特征多项式相同, 从而其特征值也相同. 推论: 若n阶矩阵A与对角阵 相似，则 是A的n个特征值 . 证: 是Λ的n个特征值， 而A～Λ， 由定理1知 也是A的n个特征值 . 二、相似对角阵 对任一n阶矩阵A，能否找到一个相似变换阵P, 使P -1AP = Λ为对角阵 . 定义2: 对n阶矩阵A，若能找到相似因子阵P，使 P-1AP = Λ （3） 为对角阵，则称A可对角化, 求矩阵P的过程称为 把方阵A对角化. 给了一个矩阵A, 如何去找一个矩阵P, 能使 最简单呢? 对角形矩阵是比较简单的. 定理2: n阶方阵A与对角阵相似的充要条件是 A有n个线性无关的特征向量 . 证: 必要性： ∵A～Λ， 即存在相似因子阵P使 把P用列向量表示为 由 得 AP = PΛ 而 AP =（Ap1，Ap2, …, Apn), 于是有 即 由于λi 是A的n个特征值， P的列向量pi就是A的对应于特征值λi 的特征向量. 又由于P是可逆阵， (p1，p2，…，pn )线性无关. 故满足AP = PΛ的矩阵 故其列向量组 充分性: ∵A有n个线性无关的特征向量 p1，p2，…，pn , 且它们分别对应于特征值 于是(5)成立. 令 (以特征向量为列作矩阵) 则 P 可逆, 且 两边左乘P-1, 推论1: 若n阶方阵A有n个互不相同的特征值,则A 必与对角阵相似 . 从而有 P-1AP = Λ. 即 A～Λ. 例1: 求矩阵 的相似对角阵及相似因子阵. 解: 先求特征值. 得 A的特征值为 可求得当 A的特征向量为 当 A的特征向量为 时, 时, 当 A的特征向量为 以p1, p2, p3为列作矩阵，得相似因子阵 可验证 注: 1)相似对角阵主对角线上元素即为A的三个特征值. 2)若不要求求出相似因子阵P，则只要求出特征值 就可得对角阵 . 3)若特征值 有重根时，A就不一定能对角化 . 时, 例2: 判断矩阵 能否与对角阵相似？ 解: 由 得 A的特征值为 当 时, 解方程组 (A－ 2E)x = 0, 由 (A－ 2E )= 得 ∴基础解系(特征向量)为 当 时, 解方程组(E－A)x = 0, (A-E ) = 得 ∴基础解系(特征向量)为 因此矩阵A没有三个线性无关的特征向量，故A 不能与对角阵相似. A的特征值为 对应于λ1=－1的特征向量为 而对应于λ2=λ3=2 的特征向量为 又如: 因此矩阵A有三个线性无关的特征向量，故A 可以与对角阵相似. 例3: 设A, B为n阶方阵，A可逆，证明AB与BA相似. 解: ∵A可逆， 即A-1存在， 故有 A-1ABA = (A-1A)BA = BA ∴ AB～BA. §4 对称矩阵的对角化 定理1 实对称矩阵A的特征值为实数. 设复数λ为实对称矩阵A的特征值， 证: 复向量x为对应于特征值λ的特征向量， 即 Ax=λx，x≠0. 表示 的共轭复数, 表示x的共轭复向量, 又由于A是实对称阵，则 什么样的矩阵可对角化呢？ 结论: 任意实对称矩阵都与对角矩阵相似. 因而有， 或 但因x≠0，故 则 即λ是实数. 两边转置 两边右乘x 由特征向量的定义, 定理2 设λ1、λ2是实对称矩阵A的两个特征值, p1、p2分别是对应于两个特征值的特征向量. 若λ1≠λ2，则p1与p2正交. 证: 设 上式两边右乘p2， 有 定理3 设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵