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给不等式降降温 ----不等式证明方法小结 河北 王黎明 不等式的证明具有很强的系统性，当遇到具体问题时，选择什么样的方法证明是解题的关键。通过对不等式证明方法的总结，特别是问题的一题多解，可以培养良好的分析问题和解决问题的思维能力。 比较法，分析法，综合法是证明不等式最常用的三种方法。掌握这三种常用方法，是不等式证明的基础知识，也是重点内容。 1：分析法：从求证的不等式出发，分析不等式成立的条件，直接推至已知条件或基本事实。 例1：如果a0,b0,求证: . 证明：为了证明， 只要证明(a+b)( ) ab(a+b)， 由于a0,b0，只要证明ab， 只要证明0，显然0成立， 所以. 例2：已知+=1,. +=1,求证：ax+by1. 证明：要证明ax+by1, 只要证1- (ax+by) 0, 只要证2-2ax-2by0, 又因为+=1,. +=1, 所以+++-2ax-2by0, 即证+0,此式显然成立.所以ax+by1. 小结：(1)对于较复杂的不等式，通常用比较法探索证题途径。 (2)分析法由“求知”看“需知”，逐步靠近“已知”。 (3)优点：方向明确，思路自然、易于掌握。 2：比较法：通过作差/作商判定不等式两边的大小。其基本步骤是：作差/商——变形——判断大小关系——结论。 例3：已知a,b ,n ,求证：（a+b）()2(). 证明：（a+b）()-2(). =a+b-- =a()+b() =()(a-b) 因为与b-a同号，所以()(a-b) 0， 即（a+b）()2(). 例4：已知a,b ， 证明：因为= 若ab0,则故1; 若ba0,01, 0,也有1; 若a=b0,则=1，所以。 小结：要证的不等式两边为分式或多项式，常用“差比法”证明。 要证的不等式两边为指数幂型，常用“商比法”进行证明。 3：综合法：从已知条件或不等式的性质、定理、公式出发推出要证的不等式。它从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”。 例5：设x0,y0,证明不等式：. 证明：因为 , 又因为x0,y0, 所以. 小结：(1)用综合法证明不等式时常用的不等式（注意取“=”的条件）. （2）关键在于对原不等式适当的变形。 （3）优点：易于表述、条理清晰、形式简洁。 总之，三种方法各有其优缺点，分析法利于思考，综合法宜于表达。一般来说，对于复杂的不等式，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明。所以通常时分析法和综合法一起使用。此外还有换元法、反证法、放缩法、构造法等，但都是利用“化归”“类比”“换元”等数学思想，使之成为我们需要的形式。