一元函数积分导学.docVIP

第四章 一元函数积分学导学 一、 学习要求 1、理解原函数与不定积分概念，弄清两者之间的关系。会求当曲线的切线斜率已知时，满足一定条件的曲线方程。知道不定积分与导数（微分）之间的关系。 了解定积分的定义设f(x)在[a,b]上连续，存在F（x）使得F‘（x）=f(x)，则 2、熟记积分基本公式，熟练掌握不定积分的直接积分法。了解不定积分和定积分的性质，尤其是： 3、熟练掌握第一换元积分法（凑微分法） 注意：不定积分换元，要还原回原变量的函数；定积分换元，一定要换上、下限，直接计算其值。 4、熟练掌握分部积分法。分部积分公式为： 会求被积函数是以下类型的不定积分和定积分 （1）幂函数与指数函数相乘。 （2）幂函数与对数函数相乘。 （3）幂函数与正（余）弦函数相乘。 5、知道无穷限积分的收敛性，会求无穷限积分。 6、知道变上限定积分概念，知道 是f(x)的原函数，即 7、记住奇偶函数在对称区间上的定积分性质，即 （1）若 f(x) 是奇函数，则有 （2）若 f(x) 是偶函数，则有 本章重点 不定积分、原函数概念，积分的计算 二、学习方法 看例子、尝试做、不懂就问 三、学习内容 （一）、原函数概念 定义一：设 f(x)是定义在区间D上的函数，若存在函数F(x)对任何x∈D,都有F(x)’=f(x)(或df(x)=f(x)dx) 则称F(x)为f(x)在区间D上的原函数(简称为f(x)的原函数) 如:已知函数f(x)=sinx 函数F1(x)=-cosx和F2(x)=-cosx+2都是f(x)=sinx的原函数。 ∵(C’)=0, ∴F(x)=-cosx+C都是f(x)=sinx的原函数 注：一个函数的原函数若存在，则有无数个。 定理1，若F(x)是f(x)在某区间上的原函数，则F(x)+C(C为任意常数)包含了f(x)的全体原函数。 如：在任一点x处切线斜率为2x的曲线方程是y=x2+c 2、不定积分的定义 定义2，对于某区间D上的函数f(x)，若存在原函数，则称f(x)为可积函数，并将f(x)的全体原函数记为 ∫f(x)dx 称它是函数f(x)的不定积分,其中f(x)是被积函数,x是积分变量,∫是积分符号。 若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的不定积分为 ∫f(x)dx=F(x)+C(C称为积分常数) 注:(1)积分号∫表示对函数f(x)实行求原函数的运算,即要找出导函数等于已知函数f(x)的(原)函数F(x)+C (2)x是积分变量,它与用什么字母表示无关,所以 式中将x换成u仍成立,即 ∫f(u)du=F(u)+C (C为积分常数) (3)“求一个已知函数f(x)的全体原函数”可表示为: ∫f(x)dx=F(x)+C (4)求一个已知函数f(x)的全体原函数的方法为: ①先求一个原函数F(x)即F’(x)=f(x) ②再由 式即可求出全体原函数. 例1、已知曲线y=F(x)在任一点x处的切线斜率为2x，且曲线过(1,2)点，求此曲线方程： 解：由导数的几何意义知： k=F’(x)=2x ∵(x2)’=2x ∴F(x)=x2是2x的一个原函数。 ∴y=∫2xdx=x2+c 又曲线过 (1,2)点,把x=1,x=2代入上式得 2=12+C即C=1 所以,所求曲线方程为:y=x2+1 例2 经过调查发现,某产品的边际成本可由下列函数给出2q+3某中,q是产量数,已知生产的固定成本为2,求生产成本函数。 解：设所求生产成本函数为C(q)，由题知： C’(q)=2q+3 ∵(q2+3q)’=2q+3 ∴F(q)=q2+3q是2q+3的一个原函数 ∴C(q)=∫(2q+3)dq=q2+3q+c0(c0是积分常数) 由已知生产的固定成本为2,即生产是q=0时,成本是2,代入上式,得 C(0)=02+3·0+C0=3 得C0=2 所以,生产成本函数为:C(q)=q2+3q+2 (二)、积分基本公式 1、不定积分与导数(微分)之间的关系 2、导数基本公式 积分基本公式 注：上述积分公式中x可以换成u (三)、基本积分法 1、不定积分的性质 性质1：两个函数之和(差)的不定积分，等于它们的不定积分之和(差)即 性质2：在求不定积分时，非0常数因子可以提到积分号外面。 即 2、直接积分法：得用不定积分的运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法。 举例：书P155～157 例1：求下列不定积分 例2、某商场销售商品的边际收入是64q-q2(万元/千件)某中q是销领带量(千件)，求收入函数及收入最大时的销售量。 解：设收入函数为R(q)