2012高考求数列通项公式的方法总结.doc

求数列通项公式的方法 一、观察法：通过观察数列的前几项，归纳猜想数列的通项公式 （一）公式法：通过观察，若数列是等差或等比数列，则可确定基本量套等差或等比数列的通项公式，这种求通项公式的称为公式法 （1）1，2，3，4，5，……； （2）1，2，4，8，16，……； （3）1，-1，1，-1，1，-1，……； 此法的观察角度：数列是否成等差或等比数列 （二）类比联想法：象这样联想基本数列（基本函数），找出与基本数列的关系，求通项公式的方法叫联想类比法（需熟记一些基本数列的通项公式） 常用基本数列有： （1）1，2，3，4，5，…… （2）1，2，4，8，16，…… （3）-1，1，-1，1，-1，…… （4）1，-1，1，-1，1，…… （5）9，99，999，9999，99999，……等。 请根据前几项，求下列数列的通项公式 （1）1，4，9，16，25，… （2）1，0，1，0，1，0，… （3） 0，1，0，1，0，1，… （4）2，3，5，9，17，… 解：（1）类比数列1，2，3，4，5，…… （2）类比数列1，-1，1，-1 ，1，…… （3）类比树列-1，1，-1，1，-1，……或（2）中数列 （4）类比数列1，2，4，8 ，16，…… 此法的观察角度：找已知通项公式的基本数列的关系，（如：运算关系） （三）变形转化法：通过对数列的各项进行变形，转化为等差或等比数列用公式法，这种方法叫变形转化法。变形目的化归等差（比）数列， 请根据数列的前几项，求下列数列的通项公式 （1）11，103，1005，10007，……（2）9，99，999，9999，……（3） 解：（1）变形为10+1，100+3，1000+5，10000+7，…（2）变形为10-1，100-1，1000-1，10000-1，… （3）变形为 此法的观察角度：变形后，先观察部分规律，然后得整体 （四）、逐项作差（商）累加（乘）法：若通过观察，发现数列从第二项起，每一项与它前一项的差（或商）成等差（比）数列，则可通过累加（或累乘）转化为等差（比）数列的前n项和，求数列的通项公式，此法叫做逐项求差累加法。等差（比）数列通项的推导就是此法 请根据前几项，求下列数列的通项公式 （1）3，5，9，15，23，……（2）9，99，999，9999，…… 解：（1） =（5-3）+（9-5）+（15-9）+（23-15）+…… +3 =（2+4+6+8+……）+3 = 此法的观察角度：逐项求差组成的数列是否成等差数列或等比数列 思路整合 上述四种方法可统称为观察法，都是通过观察前几项，归纳猜想数列的通项，其基本思路是： 首先要观察 ：观察的角度有①数列是否为等差或等比，若是，则用公式法； ②若不是，则可类比基本数列（即找与基本数列的关系）或③变形转化为等差（或等比）数列用公式法或④通过逐项求差（商）累（乘）化归为等差或等比的前n项和来求通项。 其次观察时要遵循先部分后整体的原则，符号的规律用基本数列来 调解。 如：分式形式的数列，分子找规律，得分子的通项，分母找规律，得分母的通项，这是先部分，然后得出整体的通项。又如：正负相间的数列，可先定符号。 二、由前项和与通项 的关系：求通项 例1：已知数列 前n项和为 （1）若 ，求 （2）若 ，求 （3）若，求 解法一：求出数列的前几项，归纳猜想求通项公式 解法二：判断数列为等差数列，用公式法求通项公式 解法三：由数列的 与的 关系求通项公式，易错点：易忽略公式是分段的 例2、已知数列 的前n项和为 ，且 求 评：（1）用 转换，转换方式有两种，或保留 或保留 （2）两种方法的实质方程思想中的消元统一变量， 例3 、若数列 的前n项和为 ，求数列 的通项公式 例4、各项均为正数等差数列 且 成等差数列，求数列 的通项公式。 例5、（2008全国2）设数列的前n项和为Sn，已知，设 求数列的通项公式。 例6：（2008山东）已知数列的前n项和为，且b1=1,，求数列的通项公式。 例7、设数列的前n项和为Sn，且，求