一阶常微方程的初值问题课件.ppt

* Ordinary Differential Equations ODE 一阶常微分方程的初值问题： 节点：x1x2 … xn 步长 为常数 一 欧拉方法（折线法） yi+1=yi+h f(xi,yi) (i =0,1, …, n-1) 优点：计算简单。 缺点：一阶精度。 二 改进的欧拉方法 改进的欧拉公式可改写为 它每一步计算f(x,y)两次，截断误差为O(h3) 精确解： function [t,y] = Heun(ode,tspan,h,y0) t = (tspan(1):h:tspan(end)); n = length(t); y = y0*ones(n,1); for i=2:n k1 = feval(ode,t(i-1),y(i-1)); k2 = feval(ode,t(i),y(i-1)+h*k1); y(i) = y(i-1)+h*(k1+k2)/2; end 三 龙格—库塔法(Runge-Kutta) 欧拉公式可改写为 它每一步计算 f (xi,yi) 一次，截断误差为O(h2) 标准四阶龙格—库塔公式 每一步计算 f (x, y) 四次，截断误差为O(h5) 1/6 2/6 2/6 1/6 1 0 0 1 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 对于两个分量的一阶常微分方程组 用经典4阶 Runge-Kutta 法求解的格式为 n 级显式Runge-Kutta 方法的一般计算格式： 其中 Adams 外插公式（Adams-Bashforth 公式）是一类 k+1 步 k+1 阶显式方法 三步法（k=2）, 四步法（k=3）, Adams 内插公式（Adams-Moulton 公式）是一类 k+1 步 k+2 阶隐式方法 三步法（k=2）, Adams 预估-校正方法（Adams-Bashforth-Moulton 公式） 一般取四步外插法与三步内插法结合。 #include stdio.h #include stdlib.h #include math.h #define TRUE 1 main() { int nstep_pr, j, k; float h, hh, k1, k2, k3, k4, t_old, t_limit, t_mid, t_new, t_pr, y, ya, yn; double fun(); printf( \n Fourth-Order Runge-Kutta Scheme \n ); while(TRUE){ printf( Interval of t for printing ?\n ); scanf( %f, t_pr ); printf( Number of steps in one printing interval?\n ); scanf( %d, nstep_pr ); printf( Maximum t?\n ); scanf( %f, t_limit ); y = 1.0; /* Setting the initial value of the solution */ h = t_pr/nstep_pr; printf( h=%g \n, h ); t_new = 0; /* Time is initialized. */ hh = h/2; printf( --------------------------------------\n ); printf( t y\n ); printf( --------------------------------------\n ); printf( %12.5f %15.6e \n, t_new, y ); do{ for( j = 1; j = nstep_pr; j++ ){ t_old = t_new; t_new = t_new + h; yn = y; t_mid = t_old + hh; yn = y; k1 = h*fun( y