高数 第二节 一阶微分方程.ppt

第二节 分离变量方程的解法: 例1. 求微分方程 例2. 求微分方程 例3. 解初值问题 例3（2）. 求下述微分方程的通解: 练习: 二、齐次方程 例4. 解微分方程 例4（2）. 解微分方程 例4（3）. 解微分方程 例4’. 在制造探照灯反射镜面时, 说明: 三、一阶线性微分方程 例5. 解微分方程 2. 解非齐次方程 例6. 解方程 例7. 求初值问题: 例7’. 求方程 四、伯努利 ( Bernoulli )方程 例8. 求方程 内容小结 内容小结 内容小结 6. 解微分方程应用题的方法和步骤 思考与练习 作业 2. 设有微分方程 2) 再解定解问题 伯努利(1654 – 1705) 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 P 205 1 (2) , (4) ,(6); 2(2) ; P 205 3 (1) , (3) P 206 4 (2) , (4) 1. 求一连续可导函数 使其满足下列方程: 提示: 令 则有 利用公式可求出 机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 其中 试求此方程满足初始条件 的连续解. 解: 1) 先解定解问题 利用通解公式, 得 利用 得 故有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此齐次线性方程的通解为 利用衔接条件得 因此有 3) 原问题的解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 一阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六章 三、一阶线性微分方程 一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 一、可分离变量的微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一阶微分方程的一般形式为 如果一阶微分方程 可化为 的形式，则称该方程为可分离变量的微分方程。 设 y＝? (x) 是方程①的解, 两边积分, 得 ① 则有恒等式 ② 当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 说明由②确定的隐函数 y＝?(x) 是①的解. 则有 称②为方程①的隐式通解, 或通积分. 同样,当F’(x) = f (x)≠0 时, 上述过程可逆, 由②确定的隐函数 x＝?(y) 也是①的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 转化 解分离变量方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果有 则 即 （ 为任意常数）。 解: 分离变量，得 两边积分得 即 ( C 为任意常数 ) 故所求通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的通解。 解: 分离变量得 两边积分得 即通解为 由初始条件得 C = 4, ( C 为任意常数 )。 故所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 故有 即 解得 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法 1 分离变量 即 ( C 0 ) 解法 2 故有 积分 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 形如 的方程叫做齐次方程 . 令 代入原方程得 两边积分, 得 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 代入原方程得 分离变量，得 两边积分，得 故原方程的通解为 ( C 为任意常数 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解) ( C 为任意常数 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 则有 分离变量 积分得 代回原变量得通解 即 说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 (C 为任意常数) 求解过程中丢失了. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可得 ?OMA = ? OAM = ? 解: 设光源在坐标原点, 则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M