第三章：布尔代数分析与数字电路逻辑化简表示(不同的展开方式).doc

第二章：布尔代数及其分析 数字电路基于排列组合与数字集合论，和数理逻辑有一定距离。在逻辑函数的计算方面，使用数理逻辑的非计算，能够化简布尔表达式。布尔逻辑代数引进数字电路,与命题的真假判断有区别,因此逻辑函数用数字函数描述更有广泛的内涵:既包括逻辑计算也包括组合功能.英国数学家布尔的研究导致逻辑代数的出现，并被命名为布尔代数。逻辑代数给数字电路建立二值逻辑模型,可进行具体数字系统的分析和设计,并在此基础上化简运算,得到数字系统的最优实现方法.使用布尔代数还可以揭示不同逻辑函数之间的相互关系,很清楚的发现这些逻辑函数所对应的具体数字电路之间的转换关系,根据实际需要灵活选择,实现不同数字电路的互换. §1.布尔代数系统的基本内容 布尔代数系统建立在集合{0，1}上的运算和规则。布尔代数的基本定律用恒等式的形式表示,包括代入,反演,对偶,展开四个基本运用规则,主要用来解决逻辑函数的变换与化简. 1布尔代数系统简介 数字函数表达式：，其中：称为输入变量，Y叫做输出变量，F称为逻辑函数，表示基本逻辑运算或复合逻辑运算。 def1在二值集中，逻辑变量取值为0或1,称为布尔变元或变量。 注：布尔变元可用大写字母，也可用小写字母表示，但是一定要保持一致性。 def2从到的函数被称为n度布尔函数，其中= 说明：n度布尔函数与n元组逻辑函数是一个概念，定义域是。 2布尔代数的基本运算和复合运算 表1：布尔代数与，或，非运算真值表 逻辑计算 函数表达式 真值表 输入划分集 0 1 00 01 10 11 1子集 0子集 与运算 0 0 0 1 {11} {00，01，10} 或运算 0 1 1 1 {01，10，11} {00} 非运算 1 0 {0} {1} 说明：①与运算表示只有全部输入变量都为1时，输出变量为1；其它输入变量组合，得到得输出都为0。②或运算表示只有全部输入变量都为0时，输出变量为0；其它输入变量组合，得到得输出都为1。③非运算是一元逻辑函数，实现集合的求补运算，输出变量的值是输入变量相对全集E的补元. 从真值表1可见,与,或运算有相同之处,函数值的划分集合中,两个子集形式相同:一个子集有三个输入序偶,另一个子集只有一个序偶元素.引入补元概念后,可以研究输入序偶之间的关系.建立与，或运算可能存在的对应关系，用到复合运算，见下表； 表2：布尔代数复合逻辑真值表 复合逻辑 函数表达式 真值表 00 01 10 11 与非运算 1 1 1 0 或非运算 1 0 0 0 异或运算 0 1 1 0 同或运算 1 0 0 1 分析： 与运算的1划分子集和或运算的0划分子集的关系：。这个式子在其它三个序偶也成立，即与运算的0划分子集和或运算的1划分子集也符合这个关系式。从或运算出发可得：，从A=B=1可得上一个关系式。这里描述的是补元之间的关系。 另一个常用的复合逻辑：与或非运算的表达式。 布尔函数的表达式的成分包括：变元和布尔运算。 def3变元的布尔表达式的递归定义： 1）是布尔表达式 2）若B1和B2是布尔表达式，则是布尔表达式。 3布尔代数的公理和恒等式 def4一个布尔代数是一个集合，它有两个二元运算（布尔和，布尔乘积），以及一个一元运算（补），且对E中的任意变量A,B,C,D,…,下列性质成立： 表3布尔代数的公理和基本公式 0-1律 互补律 还原律 重叠律 交换律 结合律 分配律 反演律 吸收律 注①：0-1律，互补律，还原律，重叠律被认为是基本定律。②：任何变量的取值集合都能被补元对划分。 从上表可以得到一些结论，发现一些问题，现排列见下： ①与式包含在每一个子项中，或式包含每一个子项。 ②有两个不同运算符号的化简式，一般产生于两级对称运算的复合。 ③因为补运算的存在，单输入集，双输入集与多输入集中元素的关系，各输入集之间的关系。④笛卡尔积的关系，还有集合的包含关系对布尔代数的影响。 ⑤能否用集合论解释布尔代数，例如表达式的集合论解释。若能，则集合论就成为布尔代数的元理论。 ⑥上述公式的若使用序偶表达形式，有什么不同？有数字代数么？ ⑦，从中可以发现A作为中间变元，也有相对全集1的作用。 这些问题的解答在第二节。 4逻辑代数中的基本定理 代入定理：用于扩展公式或证明逻辑等式 Th1代入定理 在等式两边都含有变量X的逻辑等式中,若将式中所有出现X的地方都用另一个函数Y代替,则等式仍然成立. 代入定理是复合计算的一种方法.可用多元组取代序偶,使在单输入集,双输入集上成立逻辑等式,在双输入集也可成立. 对偶定理：用于逻辑恒等式。 序偶对的一一映射，与组合公式。 def5