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1.3 概率的一般定义
例 2 从 1~9 这 9 个数中有放回地取出 n 个数,试求取出的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率. 解:A ={取出的 n 个数的乘积能被 10 整除}; B={ 取出的 n 个数至少有一个偶数 }; C ={取出的n 个数至少有一个 5 } . 则 A=B∩C * 柯尔莫哥洛夫 ( A. H. Колмогоров1903-1987 ) 1939年任苏联科学院院士.先后当选美,法,意,荷,英,德 等国的外籍院士 及皇家学会会员. 为 20 世纪最有影响的俄国数学家. 俄国数学家 概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年建立. §1.3 概率的公理化定义 柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一 系列重要分支作出重大贡献. 他建立了在测度论基础上的概率论 公理系统, 奠定了近代概率论的基础. 他又是随机过程论的奠基人之一, 其主要工作包括: 20年代 关于强大数定律、重对数 律的基本工作; 1933年在《概率论的基本概念》 一文中提出的概率论公理体系(希尔伯 特第6问题) 30年代建立的马尔可夫过程的两 个基本方程; 用希尔伯特空间的几何理论建立 弱平稳序列的线性理论; 40年代完成独立和的弱极限理论, 经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等; 在动力系统中开创了关于哈密顿系 统的微扰理论与K系统遍历理论; 50年代中期开创了研究函数特征的 信息论方法, 他的工作及随后阿诺尔德 的工作解决并深化了希尔伯特第13问题 ——用较少变量的函数表示较多变量的 函数 ; 60年代后又创立了信息算法理论; 1980年由于它在调和分析, 概率论, 遍历理论 及 动力系统方面 出色的工作 获沃尔夫奖; 他十分重视数学教育,在他的指引 下,大批数学家在不同的领域内取得重 大成就.其中包括и.M.盖尔范德,B.и. 阿诺尔德, Я.Г.西奈依等人. 他还非常重视基础教育, 亲自领导 了中学 数学教科书的编写工作. 1.定义:设Ω是样本空间,T是随机试验. 对于T 的每个事件A对应一个实数P(A),称为事件 A的概率,其中集合函数P(.)满足下列条件: (1) 对任一事件A,有0≤ P(A)≤1; (非负性) (2) P(Ω )=1;(规范性) (3)设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有 P(A1 ? A2 ? …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性) §1.3 概率的一般定义(公理化定义) 19 由概率定义可以推出概率的一些重要性质: 一般地有: P(B-A)=P(B)-P(AB). ? P(B)=P(A)+P(B-A), 即 P(B-A)=P(B)-P(A). 一般地 ∵B-A=B-AB, 且B?AB, ∴ P(A-B) =P(B-AB) =P(B)-P(AB). B A B-A 即 事件B发生而事件A不发生 的概率为P(B)-P(AB) B A AB 22 B A A?B B-AB 例 1 在 1~2000 的整数中随机的取一个数,问取到的整数既不能被 6 整除,又不能被 8 整除的概率是多少? 解:设 A 为事件“取到的整数能被 6 整除”, B 为 “取到的整数能被 8 整除”,则所求的概率为: 为:6,12,18…1998 共 333 个, 所以能被 6 整除的整数 返回主目录 由于 AB 为“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除” 于是所求的概率为: 其中 B ={8, 16, … 2000 }, AB = {24, 48 …1992 }, 返回主目录 返回主目录 例3 P(A)=1/4, P(B)=1/2, 就下列三种情况 解(1) P(B-A)=P(B)=1/2 (2) P(B-A)=P(B)-P(A)= (3) P(B-A)=P(B)-P(AB)= (1)A与B互不相容; (2) 求P(B-A). 由于A与B不相容,即 (3) P(AB)=1/8 应用例1 例4 P(A)=0.2,P(B)=0.4, P(BC)=0.1,P(C)=0.3 计算:P(B-C),P(B+C) P(A+C),P(B-C-A), 解: P(B-C)=P(B)-P(BC) =0.4-0.1=0.3 P(B+C)=P(B)+P(C)-P(BC) =0.4+0.3-0.1=0.6 P(A+C)=P(A)+P(C)=0
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