4.2.3直线与圆的方程的应用(用).ppt

* 4.2.3 直线与圆的方程的应用 问题提出 通过直线与圆的方程，可以确定直线与圆、圆和圆的位置关系，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决.对此，我们必须掌握解决问题的基本思想和方法. 知识探究：直线与圆在实际生活中的应用 情景Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 轮船 港口 台风 思考1:解决这个问题的本质是什么？ 思考2:你有什么办法判断轮船航线是否经过台风圆域？ 轮船 港口 台风 x y o 思考3:如图所示建立直角坐标系，取10km为长度单位，那么轮船航线所在直线和台风圆域边界所在圆的方程分别是什么？ 思考4:直线4x＋7y－28＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系如何？对情景Ⅰ应作怎样的回答？ 情景Ⅱ：如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m） A B A1 A2 A3 A4 O P P2 思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高度吗？ 思考2:如图所示建立直角坐标系，那么求支柱A2P2的高度，化归为求一个什么问题？ A B A1 A2 A3 A4 O P P2 x y 思考3:取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？ x2+(y+10.5)2=14.52 思考4:利用这个圆的方程可求得点P2的纵坐标是多少？情景Ⅱ的答案如何？ A B A1 A2 A3 A4 O P P2 x y 解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）,圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 . 把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 102+(0-b)2=r2 解得，b= -10.5 r2=14.52 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程， 得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y0,所以y= 答：支柱A2P2的长度约为3.86m. 知识探究：直线与圆在平面几何中的应用 情景Ⅲ:已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半. 思考1:许多平面几何问题常利用“坐标法”来解决，首先要做的工作是建立适当的直角坐标系，在本题中应如何选取坐标系？ X y o 思考2：如图所示建立直角坐标系，设四边形的四个顶点分别为点A(a，0)，B(0，b)，C(c，0),D(0，d)，那么BC边的长为多少？ A B C D M x y o N 思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的坐标如何？ 思考4:如何计算圆心M到直线AD的距离|MN|？ A B C D M x y o N O1 M O2 P N o y x 例1 如图，圆O1和圆O2的半径都等于1，圆心距为4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线，切点为M、N，且使得|PM|= |PN|，试求点P的运动轨迹是什么曲线？ 理论迁移 例2 如图，在Rt△AOB中,|OA|=4，|OB|=3，∠AOB=90°，点P是△AOB内切圆上任意一点，求点P到顶点A、O、B的距离的平方和的最大值和最小值. O A B P C X y 思考5:由上述计算可得|BC|=2|MN|，从而命题成立.你能用平面几何知识证明这个命题吗？ A B C D M N E 因此所证命题成立 解法1： 代 数 方 法 例题分析 A B l 解法2:(1)由圆方程可知，圆心为（0，1），半径为 r = 则 圆心到直线 l 的距离为 因此所证命题成立 (2)由平面解析几何的垂径定理可知 r d 几何方法 l A B 解： （2）如图，有平面几何垂径定理知 x y 0 r d 变式演练 代数解法