3.4 解的结构.ppt

* * * * * 方程组有解 方程组有惟一解 方程组有无穷多解 （未知量个数） （未知量个数） 系数矩阵 零矩阵 未知量矩阵 3.4 线性方程组解的结构 解向量 零向量 例 解方程组 解 一般解 解向量组 一 齐次线性方程组解的结构 1. 解的性质 AX=O的解向量组的一个极大无关组称为方程组的一个基础解系． 2. 基础解系 ⑷ 基础解系不惟一． 由定义可知，基础解系应满足如下条件： ⑵ 线性无关； ⑶ 任一个解都能由它线性表出；　　　　　　　　 ⑴ 是解； 定理 如果齐次线性方程组有非零解，那么它一定 有基础解系 ３. 基础解系的存在性 ,且基础解系含有　　 个解向量． 注： 基础解系含有　　 个解向量，　 来自于 自由未知量的个数． 例2 解方程组 解 故方程组的一般解为 令 得 令 得 即为方程组的一个基础解系． 无关的向量组加长分量仍然无关 相关的向量组截短分量仍然相关 求得　　　个解 ，就是基础解系。 ② 让自由未知量　　　 依次取值 其中　　　　　　　是任意常数． ③　　　　　　　　　　　　　即为齐次方程的通解，　　 ① 简化阶梯形 4. 求一组基础解系的方法 例1 求齐次方程组的基础解系及通解 方程组的一般解为 得基础解系 故通解为 （ 为任意常数） 二．非齐次线性方程组解的结构 　　齐次线性方程组　　　　称为非齐次线性方程组　　　　的导出组． 解的性质 　　非齐次线性方程组的任意一个确定的解都称为它的一个特解.　　　　 非齐次减非齐次是齐次 非齐次加齐次还是非齐次 2. 非齐次线性方程组解的结构 若非齐次方程有无穷多解 ，则其通解可表示为　 其中 是其任意一个特解， 　　　　　　　　　　　　　　　　　 是其导出组的基础解系． 这是因为 对于任意 个实数 确实是非齐次方程的解. 2. 非齐次方程的任意一个解都可以表示成 这种形式. 设　是非齐次方程的任意一个解， 　　　　　　　　　　　　　　　则　　　是其导出组的解． 即非齐次方程的任意一个解都可以表示成 这种形式. 3．求非齐次线性方程组通解的步骤 简化阶梯形 得特解 得导出组的基础解系 其中　　　　　　　是任意常数． ３．写出导出组的一般解 　　　　　　　　　　　　　　即为非齐次方程的通解，　　 例2 用基础解系表示方程组的全部解 方程组的一般解为