模糊数学及应用(1-3讲).ppt

* * * * 注： （1）使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性. （2）当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典集合是模糊集合的特殊情形. 例1 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为： 此即： A(x1)=0, A(x2)=0.2, A(x3)=0.4, A(x4)=0.6, A(x5)=0.8, A(x6)=1 例1中的模糊集A用Zadeh表示法表示如下： Zadeh对模糊集的表示法： A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+…+A(xn)/xn 还可用向量表示法： A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1). 另外，对例1还可以在U上建立一个“矮个子”、“中等个子”等模糊子集. 从上例可看出： (1) 一个有限论域可以有无限个模糊子集,而经典子集是有限的； (2) 一个模糊子集的隶属函数的确定方法是主观的. 隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，模糊数学方法是在客观的基础上，特别强调主观的方法. 例2 考虑年龄集U=[0,100]，A=“年老”，A也是一个年龄集，u = 20 ? A，40 呢？…扎德给出了 “年老” 模糊集的隶属函数: 1 0 U 50 100 如：A(70) =(1+1/16)-1 =16/17=0.94 例3 B= “年轻”也是年龄集U=[0,100] 的一个模糊子集，Zadeh给出它的隶属函数为： 1 0 25 50 U B（u） 如：B(25)=1 B(30)=0.5 B(40)=0.1 B(50)=0.04 2.模糊集的运算 （1）相等：A = B ? A(x) = B(x)； （2）包含：A?B ? A(x)≤B(x)； （3）交：A∩B的隶属函数为 (A∩B)(x)=A(x)∧B(x)； （4）并：A∪B的隶属函数为： (A∪B)(x)=A(x)∨B(x)； （5）余：Ac的隶属函数为： Ac (x) = 1-A(x). 图例如下： 例4 设U={x1,x2,x3,x4},A和B是U上的两个模糊子集，且： A=0.3/x1+0.5/x2+0.7/x3+0.4/x4 B=0.5/x1+1/x2+0.8/x3 则： Ac=0.7/x1+0.5/x2+0.3/x3+0.6/x4 Bc=0.5/x1+0/x2+0.2/x3+1/x4 A∩B=0.3/x1+0.5/x2+0.7/x3 A∪B=0.5/x1+1/x2+0.8/x3+0.4/x4 设A，B，C为论域U上的模糊子集，则有： （1）幂等律：A∪A = A， A∩A = A； （2）交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A； （3）结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)， (A∩B)∩C = A∩(B∩C) ； （4）吸收律：A∪(A∩B) = A， A∩( A∪B)= A； （5）分配律：(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)； (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)； 3.模糊集的运算律 （6）0-1律： A∪U = U，A∩U = A； A∪? = A，A∩? = ? ； （7）还原律： (Ac)c = A ； （8）对偶律：(A∪B)c = Ac∩Bc， (A∩B)c = Ac∪Bc。 证明：（8）对偶律的证明：对于任意的 x?U (论域)， (A∪B)c(x) = 1 - (A∪B)(x) = 1 - (A(x)∨B(x)) = (1 - A(x))∧(1 - B(x)) = Ac(x)∧Bc(x) = Ac∩Bc (x) 从而有： (A∪B)c = Ac∩Bc 注：模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，但对于模糊集而言，排中律不成立，即 A∪Ac ? U， A∩Ac ? ? . 如：A=0.3/x1+0.5/x2+0.7/x3+0.4/x4