二、模糊计算.doc

§2.3 模糊集合的运算 2.3.1 模糊集合的基本运算 一、模糊集合并、交、补运算 定义2.3.1 模糊集合的包含、相等 设、为论域上的两个模糊集合，对于中每一个元素，都有，则称包含，记作。 如果，且，则说与相等，记作。由于模糊集合是通过隶属函数来表征的，模糊集合相等也可用隶属函数来定义。若对于上的所有元素，都有，模糊集合与相等。 定义2.3.2 模糊空集 设为论域上的模糊集合，对于中每一个元素，都有，则称为模糊空集，记作。 定义2.3.3 模糊集合并、交、补基本运算 设、为论域上的两个模糊集合，令、、分别表示模糊集合与的并集、交集、补集，对应的隶属函数分别为、、，对于的任一元素，定义： (2.3.1) (2.3.2) 补算子 (2.3.3) 式中“V”表示取大运算，“”表示取小运算，称其为Zadeh算子。在此定义下，两个模糊集合的并、交实质是在做下面的运算 并算子 (2.3.4) 交算子 (2.3.5) 为了加深对模糊集合并、交、补基本运算的理解，现在给出模糊集合和，见图2.3.1(a)。其中为高斯分布，为三角分布，二者的并、交运算结果如图2.3.1(b)的图2.3.1(c)所示，当然模糊集合的并、交运算可以推广到任意个模糊集合。而模糊集合补运算结果见图2.3.1(d)。 (a)模糊集合和 　　　　　　　　　　　　　　　　(b) 和的并 (c) 和的交　　　　　　　　　　　　　　　　　　(d) 的补 图2.3.1　模糊集合与及其并、交、补运算（实线区域） 为什么要用取大运算求并集，用取小运算求交集？这取决于并集与交集的定义。直观地说，并集的定义是：模糊集合和的并集是包含和的“最小”的模糊集合。更确切地说，如果是任意一个包含和的模糊集合，则它也包含和的并集。而交集的定义是：模糊集合和的交集是和所包含的“最大”模糊集合。 现在证明，如果按照取大运算，那么求得的模糊集合一定是上述定义下的并集。 证明：由于，故有和。根据模糊集合包含的定义可知，按照式(2.3.4)定义的包含了和。 现在假设是任意一个包含和的模糊集合，则有，。又因为只能是和中的最大值，故有。可见，模糊集合包含。说明由定义的是包含了和的“最小”模糊集合。 同样，可以证明由定义的交集是模糊集合和所包含的“最大”模糊集合。感兴趣的读者可以自己证明。 例2.3.1 设论域上有两个模糊集合为 ；　 试求、、。 解：根据模糊集合并、交、补运算规则可得 二、模糊集合并、交、补运算的基本性质 (1) 幂等律： (2) 交换律： (3) 结合律： (4) 分配律： (5) 吸收律： (6) 同一律： (7) 复原律： (8) 对偶律： 模糊集合的运算性质与经典集合运算的性质几乎相同，但须指出，模糊集合不再满足互补律，其原因模糊集合没有明确的边界，其补集也无明确的边界。正是如此，模糊集合能够比经典集合更客观地反映出模糊现象的实际情况。 2.3.2模糊集合的其它运算 前面给出模糊集合是包含和的“最小”的模糊集合，而模糊集合是和所包含的“最大”模糊集合。现在将式(2.3.3)～式(2.3.5)所定义的模糊集合分别称为模糊集合补算子、并算子和交算子，当然，式(2.3.3)～式(2.3.5)所定义的模糊算子只是模糊运算中的一种形式。其实，模糊集合运算的还可以定义为其它形式。例如，可以将定义为任意一个包含和的模糊集合（并不一定是最小的模糊集合）。之所以这样做，是因为在某些条件下，由式(2.3.3)～式(2.3.5)所定义的模糊算子也许并不令人满意。另外，对于非模糊集合来说，只有一种并集、交集、补集的运算是可行的。但对于模糊集合来说，除了传统意义下的并集、交集、补集运算外，还可能存在比该定义更有效的模糊集合算子。因此，从理论上研究何种模糊集合算子对模糊现象的刻画更加有效，何种模糊算子对处理实际问题可行性更强，也是一项十分有意义的研究工作。 下面将给出几个非基本运算下的基于公理的模糊集合算子： 一、模糊集合补运算 首先令：→为从模糊集的隶属函数向其补集的隶属函数转换的映射，即