数学最后3题.doc

2015年广州市高考模拟考试 数 学（理科） 2015.1 19.（本小题满分14分） 已知数列的前项和满足：，为常数，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，设，且数列的前项和为，求证：． 19.（1）解：∵， ∴ .……………………1分 当时，，……………………………3分 得，……………………………………4分 ∴ 数列是首项为，公比也为的等比数列． …………………………5分 ∴. …………………………………分 （2）证明：当时，，………………………………………7分 ∴. ………………分 由，，……………………………………10分 ∴. …………………………………… 11分 ∴ 13分 ∵ ，∴ ，即. ………………………14分 20．（本小题满分14分） 已知椭圆的离心率为，且经过点．圆 （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆C有且只有一个公共点，且与圆相交于两点，问是否成立？请说明理由． （1）解：∵ 椭圆过点， ∴ . …………………………………1分 ∵， …………………………………2分 ∴． ………………………………3分 ∴椭圆的方程为. ………………………………4分 （2）解：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点. ……………5分 ∵直线与椭圆有且只有一个公共点， ∴方程组 （*） 有且只有一组解． 由（*）得． …………………………6分 从而．① …………7分 ，.……9分 ∴ 点的坐标为. ……………………………10分 由于，结合①式知， ∴. …………………………………11分 ∴ 与不垂直. ………………………12分 ∴ 点不是线段的中点. ……………………13分 ∴不成立. ………………………14分 解：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点.……………5分 ∵直线与椭圆有且只有一个公共点， ∴方程组 （*） 有且只有一组解． 由（*）得． ………………………6分 从而．① …………7分 ，………………………………………8分 由于，结合①式知， ,线段的中点为, 由消去,得.………………………9分∴ . ……………………………10分,得 ,化简得,矛盾. ……………………11分∴ 点与点不重合. ……………………12分∴ 点不是线段的中点. ……………………13分 ∴ 不成立. …………………………14分 21.（本小题满分14分） 已知函数，R . （1）讨论函数的单调性; （2）若函数有两个极值点,, 且, 求的取值范围; 在（2）的条件下, 证明:. (1)解: 函数的定义域为, ,………………………………………………1分 令, 得, 其判别式, ① 当,即时, ,, 此时,在上单调递增; ……………分 ② 当, 即时, 方程的两根为,,…………分 若, 则, 则时, , 时, , 此时, 在上单调递减, 在上单调递增; ……………4分 若,则, 则时, ,时, , 时, , 此时, 在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增. ……分 综上所述, 当时, 函数在上单调递减, 在上单调递增; 当时, 函数在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增; 当时, 函数在上单调递增. ……………6分 (2) 解:由(1)可知, 函数有两个极值点,,等价于方程在有两不等实根, 故.………………7分 (3) 证明: 由(1), (2)得, , 且, .分 ,…………………9分 令, ,则,…………10分 由于, 则, 故在上单调递减. ………………11分 故.……………………………………12分 ∴.……………………………………13分 ∴.………………………